saper utilizzare gli strumenti fondamentali del calcolo differenziale.
Prerequisiti - Cognomi A-L
Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi e esponenziali.
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Calcolo algebrico. Trigonometria. Geometria elementare. Logaritmi e esponenziali.
Metodi Didattici - Cognomi A-L
Lezioni e esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Altre Informazioni - Cognomi A-L
Nessuna
Altre Informazioni - Cognomi M-Z
Altro materiale didattico sulla pagina web personale:
www.math.unifi.it/~raffy/didattica_ing
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-L
Esame finale con prova scritta e orale
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Esame scritto e prova orale conclusiva.
Programma del corso - Cognomi A-L
L'insieme dei numeri reali.
Insiemi; operazioni tra insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi. Postulato di Dedekind. Topologia della retta: intorno di un punto, punti di accumulazione, isolati, interni, di frontiera, esterni; insiemi chiusi, aperti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Valore assoluto; proprietà.
Le funzioni.
Concetto di funzione. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Cardinalità di un insieme. Insiemi numerabili.
Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.
Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole . Alcuni limiti notevoli. Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di . Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.
Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.
Programma del corso - Cognomi M-Z
Insiemi, operazioni fra insiemi. Numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali:
assiomi algebrici, ordinamento, assioma di Dedekind. Quantificatori logici.
Disuguaglianze. Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi.
Intervalli. Numerabilita` (cenni). Intorni di un punto. Massimo, minimo,
maggioranti, minoranti, estremo inferiore e superiore di un insieme.
Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Elementi di topologia nei reali
(punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera,
insiemi chiusi, insiemi aperti).
Applicazioni tra insiemi. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di
una funzione. Grafici di funzioni elementari.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche; funzione inversa. Funzioni limitate, pari/dispari, periodiche. Funzioni monotone. Massimi e minimi. Polinomi e funzioni
razionali. Principali funzioni trascendenti (funzioni esponenziali
e logaritmiche, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni
iperboliche). La funzione parte intera.
Limiti delle funzioni (finiti e infiniti). Limite destro e
sinistro. Teorema di unicita` del limite (con dim.) e della permanenza del segno. Operazioni sui limiti e forme indeterminate. Teorema dei carabinieri (con
dim.). Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti
notevoli e conseguenze. Continuita`. Teorema della permanenza del
segno. Teorema di continuita` delle funzioni combinate (somma, prodotto,
quoziente, composizione e inversa). Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri.
Teorema dei valori intermedi. Funzioni discontinue e tipi di discontinuità.
Definizione di derivata, significato fisico e geometrico. Derivata destra e sinistra. Derivabilità
in un insieme. Derivabilità a tratti. Punti angolosi.
Differenziali. Regole di derivazione (somma,
prodotto, quoziente, composizione e funzione inversa). Derivate di
funzioni speciali. Teoremi di Rolle (con
dim.) e Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Condizioni
sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi.
Asintoti di una funzione.
Derivate di ordine superiore.
Concavità/convessità e relazioni con la derivata seconda.. Punti di flesso.
Studi di funzione.