Elementi di calcolo vettoriale e teoria dei momenti. Elementi di statica del corpo rigido, metodi analitici e grafici. Cinematica dei sistemi rigidi. Moti rigidi e moti rigidi piani. Composizione di moti rigidi. Teoremi generali sui sistemi di punti materiali. Equazioni cardinali della dinamica. Leggi di moto e di conservazione. Geometria e cinematica delle masse. Quantità di moto ed energia cinetica di sistemi. Il formalismo lagrangiano. Dinamica dei sistemi rigidi.
Contenuto del corso - Cognomi M-Z
1) Teoremi generali sui sistemi di punti materiali
2) Cinematica dei sistemi rigidi
3) Geometria e cinematica delle masse
4) Teoria dei momenti e delle viti
5) Formalismo Lagrangiano e principio dei lavori virtuali
6) Piccole oscillazioni
7) Elementi di Meccanica dei continui
LIBRO di RIFERIMENTO:
- G. Frosali, E. Minguzzi, Meccanica Razionale per l'Ingegneria, Esculapio, Bologna, 2011
Altri testi di consultazione:
- Fasano, de Rienzo, Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari,
1989.
- Biscari, Ruggeri, Saccomandi, Vianello, Meccanica Razionale per l'Ingegneria.
Simulazioni di fenomeni meccanici con programmi didattici in rete o su disco.
1) Frosali, Minguzzi, Meccanica Razionale per l'Ingegneria, Esculapio 2011
2) A. Fasano, V. de Rienzo e A. Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza 1989
3) Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli 1991.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-L
Il corso di Meccanica Razionale ha lo scopo di insegnare gli elementi di Meccanica Teorica agli studenti del Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica. In particolare il corso insegna a costruire un modello matematico di un fenomeno meccanico, a studiarlo con metodi rigorosi e ad interpretarne i risultati.
Capacità di utilizzare metodi e modelli matematici per studiare semplici problemi che nascono nell'ambito della Meccanica.
Al termine del corso, lo studente sara' in grado di applicare la meccanica teorica a problemi di ingegneria, avendone capito i principi. Cio' sara' utile per modellare quei problemi che nascono nell'ingegneria meccanica.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-Z
Lo studente che abbia seguito con successo il corso saprà derivare le leggi che determinano il moto dei corpi macroscopici a partire dalle equazioni di Newton. Saprà descrivere gli aspetti cinematici del moto dei corpi, saprà risolvere problemi di statica e anche utilizzare i principi di conservazione. Infine saprà anche impostare e risolvere alcuni semplici problemi meccanici, includendo tra questi quelli lagrangiani.
Prerequisiti - Cognomi A-L
Durante il corso di utilizzano le nozioni della geometria euclidea, imparate nella scuola media superiore ed elementi di geometria dei vettori e delle matrici (algebra lineare).
Per il calcolo, si fara' uso sia del calcolo differenziale (derivate sia totali che parziali), sia del calcolo integrale.
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Analisi I e Geometria sono indispensabili per comprendere le lezioni.
Metodi Didattici - Cognomi A-L
Le modalita' didattiche sono tradizionali: lezioni su lavagna in gesso, con eventuale ausilio di proiezioni di slides.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
La teoria viene esposta e corredata da esercizi che ne chiariscono l'applicazione. Un libro di testo basato sul corso e recentemente pubblicato, coadiuva lo studente nello studio.
Altre Informazioni - Cognomi A-L
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Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-L
La prova finale consiste in una prova scritta, seguita da una prova orale.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Esame scritto in cui si chiede allo studente di risolvere alcuni esercizi, a cui segue un esame orale in cui si verifica la comprensione della teoria.
Programma del corso - Cognomi A-L
MECCANICA RAZIONALE
C. d. L. in INGEGNERIA MECCANICA
Prof. Giovanni FROSALI
I PARTE: STATICA E CINEMATICA
INTRODUZIONE.Che cos'è la Meccanica Razionale. I fenomeni fisici ed i loro modelli. Esempi. Analogia fra un fenomeno meccanico ed uno elettrico. Primo esempio: oscillatore forzato e circuito LRC. Cosa si intende per modello matematico. Le grandezze della meccanica: scalari, vettoriali e tensoriali.
ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE. Spazio di punti, spazio di vettori geometrici
(spazio vettoriale). Vettori geometrici e rappresentazione di grandezze vettoriali con vettori geometrici. Spazio affine. Vettori liberi e applicati.
Cenni riassuntivi di calcolo vettoriale e notazioni. Rappresentazione
cartesiana. Prodotto scalare, vettoriale. Prodotto misto e doppio prodotto
vettoriale.
TEORIA dei MOMENTI. Momento polare e momento assiale. Sistemi di vettori
applicati e coppia di vettori applicati. Momento risultante di un sistema di
vettori applicati. Variazione del momento al variare del centro di riduzione.
Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse
centrale. Soluzione di e discussione. Ricerca analitica dell'asse centrale.
Equazione dell'asse centrale. Sistemi equivalenti, sistemi equilibrati.
Operazioni elementari. Esempi di riduzione di sistemi di vettori nel piano. Sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Teorema di
Varignon. Vettori paralleli, centro di vettori paralleli. Sistemi di vettori
riducibili al solo risultante applicato sull'asse centrale. Rappresentazione del campo vettoriale dei momenti. Esercizi di calcolo di asse centrale. Ricerca
dell'asse imponendo il parallelismo fra ed . Alcuni esercizi grafici
(spostamento di un vettore, decomposizione su tre direzioni, ecc.)
ELEMENTI DI STATICA DEL CORPO RIGIDO. Terminologia. Sistemi rigidi liberi e
vincolati. Gradi di libertà. Equazioni cardinali della statica. Sistemi
materiali piani. Esempi. Principali tipi di vincolo nel piano. Vincolo semplice, cerniera, incastro. Posizione del problema statico: problema labile, isostatico e iperstatico. Sistemi staticamente determinati. Vincoli efficaci. Alcuni esempi di sistemi piani. Problemi di statica per sistemi formati da un solo corpo rigido. Problemi di statica per sistemi formati da piu’ corpi rigidi. Arco a tre cerniere. Cenni sull'analisi interna delle strutture, diagrammi dello sforzo normale, taglio e momento flettente. Cenni di statica grafica. Metodi di composizione e scomposizione di vettori. Poligono funicolare. Osservazioni sul poligono funicolare. Poligoni condizionati e condizioni grafiche per l'equilibrio. Alcuni esempi di risoluzione grafica: trave orizzontale ed obliqua, trave incastrata, arco a tre cerniere con carichi concentrati e distribuiti. Strutture reticolari, equilibrio ai nodi, metodo di Ritter.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI. Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Configurazione di un sistema rigido. Trasformazioni rigide. Trasformazioni lineari ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione. Esempi. Gli angoli di Eulero. Ancora sugli angoli di Eulero. Trasformazioni ortogonali e loro rappresentazione con parametri angolari. Formule di Poisson. Espressione di in funzione di una coordinata angolare. Caratteristiche di un moto rigido. Calcolo di in alcuni casi, regola pratica per i moti piani. Relazione fondamentale tra le velocità simultanee di due punti. Velocità ed accelerazione dei punti di un sistema rigido in moto. Introduzione all'asse istantaneo di moto. Asse istantaneo di moto. Rigata fissa e rigata mobile. Rigate di un moto rigido. Esistenza e ricerca analitica dell'asse istantaneo di moto. Esempio di un disco che rotola senza strisciare. Rotolamento senza e con strisciamento di un disco su una guida rettilinea. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Velocità del centro istantaneo di moto, relativa, assoluta e di trascinamento. Moti rigidi piani. Polari di un moto rigido piano. Centro istantaneo di moto nei moti rigidi piani. Teorema di Chasles. Esempi di moto rigido piano. Moto di una asta rigida con gli estremi su due guide ortogonali. Ricerca del centro istantaneo di moto e delle polari di moto. Esercizi su base e rulletta. Asta su una guida circolare, appoggiata ad un disco. Oscillografo. Ricerca di base e rulletta per un sistema composto da un disco a contatto con un piano inclinato in movimento. Altri esercizi per la ricerca di base e rulletta per moti rigidi piani. Coppia di dischi a contatto di cui uno su un piano inclinato. Richiami di cinematica relativa. Moto relativo e moto di trascinamento. Teorema fondamentale della cinematica relativa. Teorema di Coriolis. Derivata assoluta e relativa. Moto uniforme di un punto su una guida ruotante. Esempi per mostrare l'effetto della accelerazione di Coriolis. Composizione di moti rigidi. La composizione di moti rigidi è ancora un moto rigido. Composizione di rotazioni. Coni di Poinsot. Composizione di rotazioni. Il differenziale. Esempi di composizioni di moti rigidi: il tecnigrafo. Moti epicicloidali e ipocicloidali. Esercizio della ruota, con una seconda ruota in moto relativo. Calcolo del centro istantaneo di moto e base e rulletta del moto.
II PARTE DINAMICA DEI SISTEMI
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI. Classificazione delle forze:
forze interne ed esterne, forze attive e reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica e loro derivazione. Centro di massa e proprietà. Teorema del moto del centro di massa. Commenti sulle equazioni cardinali della dinamica. Equazioni cardinali della statica. Caso dei sistemi rigidi. Sistemi composti da più parti rigide. Questioni energetiche. Sistemi di forze conservative. Ancora sulle equazioni cardinali della dinamica. Sistemi rigidi o sistemi composti da parti rigide. Ancora sulle questioni energetiche. Potenziale di sistemi conservativi di forze interne e di forze esterne. Quantità meccaniche. Energia cinetica e potenziale. Conservazione dell'energia meccanica.
GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE. Introduzione alla geometria delle masse.
Centro di massa e sue proprietà, momenti statici. Esempi di calcolo del centro
di massa. Momenti di secondo grado (rispetto ad un punto, ad una retta, ad un
piano) e momenti centrifughi. Teorema di Huygens (o del trasporto).
Dimostrazione nel caso di momento d'inerzia rispetto ad un punto, una retta ed
un piano e di un momento centrifugo. Applicazione diretta e inversa del teorema del trasporto. Determinazione di momenti d'inerzia (asta, lamina rettagolare, quadrato, parallelepipedo). Struttura di inerzia di un sistema. Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica di coseni. Matrice di inerzia. Costruzione dell'ellissoide di inerzia. Ellissoide di inerzia. Assi principali di inerzia e forma canonica dell'ellissoide d'inerzia. Richiami sul teorema spettrale per applicazioni lineari simmetriche. Matrice o tensore d'inerzia. Direzioni principali d'inerzia: autovettori e autovalori della matrice d'inerzia. Ricerca del sistema di riferimento principale. Esempi ed esercizi. Ricerca degli assi principali in una lamina rettangolare e di una lamina quadrata. Proprietà geometrico-materiali degli assi principali di inerzia. Determinazione della terna principali per alcuni sistemi piani. Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Esempi: sistemi piani, lamina quadrata e rettangolare. Disco e semidisco. Quadrato e mezzo quadrato. Il caso dei sistemi rigidi. Espressione di T, tramite la matrice d'inerzia. Teorema di König. Dimostrazione. Cinematica delle masse. Quantità di moto e momento della quantità di moto. Moto relativo al centro di massa e teorema del centro di massa. Energia cinetica. Calcolo di nel caso di sistemi rigidi.
IL FORMALISMO LAGRANGIANO. La Lagrangiana. Equazioni di Lagrange in forma
conservativa. Applicazioni del formalismo lagrangiano. Caso non conservativo. Il caso del punto libero nello spazio. Commenti sulle equazioni di Lagrange di II specie. Moto piano in coordinate polari. La macchina di Atwood. Integrali primi di moto.
MECCANICA DEI SISTEMI RIGIDI. Sistemi rigidi liberi. Precessioni. Equazioni di
Eulero. Precessioni per inerzia. Integrali primi di moto. Moto alla Poinsot.
Proprietà dinamiche degli assi principali d'inerzia. Stabilità degli assi
permanenti di rotazione. Cenno alla rotazione intorno ad un asse fisso. Analisi del momento delle reazioni.
Il titolare del Corso
(Prof. Giovanni Frosali)
Programma del corso - Cognomi M-Z
TEORIA DEI MOMENTI
Campo dei momenti meccanici. Variazione del momento al variare del centro di riduzione. Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse centrale. Sistemi equivalenti di forze, sistemi equilibrati. Teorema di Varignon. Esempi di riduzione di sistemi di vettori nel piano. L'invariante vettoriale nullo: sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Il centro delle forze parallele. Asse centrale per vettori paralleli.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Angoli di Eulero. Trasformazioni rigide. Trasformazioni lineari speciali ortogonali. Richiami sulle matrici ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione. Relazione tra prodotto vettoriale e matrici antisimmetriche. Teorema di Poisson. Esistenza e unicità della velocità angolare. Relazione tra velocità angolare e angolo di rotazione nel caso piano. Campo delle velocità di un corpo rigido: formula fondamentale del corpo rigido. Esistenza dell'asse istantaneo di moto. Invariante scalare.
TEORIA DELLE VITI
Risultante della vite, asse della vite, invariante scalare e vettoriale. Esempi di viti. Composizione di moti rigidi con la teoria delle viti. Addittività delle velocità angolari. Prodotto scalare tra viti e sue applicazioni.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI II
Rigata fissa, rigata mobile e ricostruzione del moto. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Moto piano e centro istantaneo di moto, base e rulletta. Teorema di Chasles. Determinazione del centro istantaneo conoscendo la velocità di un punto e la velocità angolare. Sistemi rigidi liberi. Equazioni di Eulero e teorema della racchetta da tennis. Descrizione di Poinsot del moto libero con l'ellissoide di inerzia. Sistemi di riferimento in moto relativo: velocità relativa, accelerazione relativa, centripeta e di Coriolis. Velocità e accelerazione di trascinamento.
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Il prodotto vettoriale. Le leggi di Newton. Azione e reazione, forze interne ed esterne. Prima equazione cardinale. Centro di massa e suo comportamento nella combinazione di più corpi. Teorema del moto del centro di massa. Lavoro. Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica in tre versioni: del punto materiale; del sistema di punti con solo le forze esterne applicate al centro di massa; del sistema di punti considerando tutte le forze. Lavoro nullo delle forze interne nei corpi rigidi, forze di attrito. Integrale sul cammino e forze conservative. Gradiente, rotore e divergenza. Teorema del circuito chiuso, di Stokes e della divergenza. Campi irrotazionali, singolarità e gradiente. Conservazione dell'energia meccanica. Energia cinetica e potenziale. Esempi di forze conservative: molla e gravità. Teorema di Koenig dell'energia cinetica. Momento angolare, e seconda equazione cardinare rispetto a un polo mobile. Caso del centro di massa. Equivalenza del momento angolare rispetto al polo del centro di massa e nel riferimento del centro di massa. Teorema di Koenig del momento angolare. Rotolamento con scivolamento e conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto. La condizione di rotolamento puro.
GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Introduzione alla geometria delle masse. La matrice dei momenti d'inerzia e sua interpretazione come applicazione lineare. Lagame tra velocità angolare e momento angolare. L'energia cinetica e la velocità angolare in particolare per i corpi rigidi. Teorema di Huygens-Steiner (o del trasporto) nella formulazione matriciale . Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica. Assi principali di inerzia, momenti principali d'inerzia e diagonalizzazione della matrice d'inerzia (teorema spettrale). Invarianti del tensore d'inerzia. Sistemi piani, proprietà notevole. Costruzione dell'ellissoide di inerzia. Calcolo grafico dei momenti d'inerzia assiali con l'ellisoide d'inerzia. Uso delle simmetrie per la determinazione degli assi principali e della matrice d'inerzia. Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Esercizi con masse negative.
STATICA
Le equazioni cardinali della statica. Il poligono funicolare e significato della sua chiusura. Risoluzione di alcuni problemi con il poligono funicolare. Teorema delle due e delle tre forze. Sistema labile, isostatico e iperstatico. Esempi di vincoli. Sistema a tre cerniere con uno o entrambi gli archi carichi (principio di sovrapposizione). Metodo delle sezioni nelle travature reticolari. Cenno al metodo dei nodi. Principio dei lavori virtuali e suo uso per la determinazione delle forze. Esempi.
IL FORMALISMO LAGRANGIANO.
Lo spazio delle configurazioni e le coordinate generalizzate. I vincoli olonomi e anolonomi. Il principio dei lavori virtuali, e il principio di d'Alembert. Le equazioni di Lagrange, con o senza forze generalizzate non conservative.
PICCOLE OSCILLAZIONI.
Caso unidimensionale. Punti di stazionarietà per il potenziale.Stabilità e instabilità. Matrice delle masse, e approssimazione quadratica del potenziale. Diagonalizzazione simultanea delle due matrici. Pulsazioni proprie dei modi principali. Piccole oscillazioni.