B000065 - GEOMETRIA

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Algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari, sitemi lineari, tuo valori e autovettori, teoria spettrale in spazi hermitiani ed euclidei.
Geometria analitica del piano e dello spazio: rette e piani, coniche e quadriche.

A. Nannicini Lezionii di Algebra Lineare Pitagora
A. Nannicini Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1 e 2 Pitagora
A. Nannicini L. Verdi Note ed esercizi svolti di geometria analitica Pitagora

Fornire conoscenze di base di algebra lineare e geometria per l'utilizzazione in campo ingegneristico e più in generale tecnologico e scientifico.

Conoscenze matematiche di base come previsto dai piani di studio delle scuole secondarie di secondo grado.

Lezioni ed esercitazioni in aula

Consultare la pagina web del docente all'indirizzo
www.math.unifi.it/users/nannicini

Esame finale con prova scritta e prova orale. Sono previste prove scritte intermedie.

1. Preliminari
Struttura lineare di K^n: somma e moltiplicazione per scalari, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori, basi.
Struttura euclidea standard su R^n : norma, distanza, angoli, ortogonalità, proiezione ortogonale, basi ortonormali, procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. L’insieme dei numeri complessi; rappresentazione algebrica, geometrica e trigonometrica di un numero complesso. Equazioni complesse. Radici n-esime dell’unità. Teorema fondamentale dell’algebra (senza dimostrazione) e sue conseguenze. Rappresentazione esponenziale. Potenze, logaritmi. Funzioni trigonometriche complesse. Struttura lineare e struttura hermitiana standard su C^ n. Struttura lineare nello spazio delle matrici Mn,m(K ); prodotto righe per colonne e proprietà relative; parentesi di Lie; trasposizione, traccia; matrici simmetriche e antisimmetriche; matrici triangolari, diagonali, matrici nilpotenti, idempotenti. Matrici hermitiane e antihermitiane. Lo spazio dei vettori liberi: struttura lineare e struttura metrica standard, prodotto vettoriale, prodotto misto e proprietà relative.
2. Spazi vettoriali
Definizioni ed esempi fondamentali. Dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori e basi. Sottospazi vettoriali. Spazi vettoriali di dimensione finita: esistenza di basi e dimensione. Operazioni con spazi e sottospazi vettoriali: somme, somme dirette.
3. Applicazioni lineari
Definizioni ed esempi fondamentali; nucleo e immagine, teorema della nullità e rango e sue conseguenze. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita. Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare. Composizione, cambiamenti di base.
4. Determinante
Definizione e proprietà fondamentali; formule di calcolo, sviluppo di Laplace. Teorema di Binet. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice. Determinante di un endomorfismo.
5. Caratteristica e rango
Spazio duale e biduale di uno spazio vettoriale. Base duale. Applicazione trasposta. Caratteristica per righe, per colonne e rango di una matrice. Rango di una applicazione lineare. Calcolo del rango. 6. Sistemi di equazioni lineari
Teorema di Rouché-Capelli. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare. Equazioni matriciali. Teorema di Rouché-Capelli generalizzato. Rango di applicazioni lineari.
7. Spazi euclidei e hermitiani
Prodotti scalari definiti positivi, criterio di Hurwitz per la definitezza di matrici simmetriche. Isomorfismi musicali. Spazi euclidei: basi ortonormali, procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Operatore trasposto. Operatori simmetrici e antisimmetrici. Prodotti hermitiani definiti positivi. Spazi hermitiani. Operatore aggiunto, operatori normali, aggiunti e antiautoaggiunti. Matrici unitarie.
8. Autovalori e autovettori
Autovalori e autovettori di endomorfismi e matrici: definizioni ed esempi fondamentali. Spettro, autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzabilità di endomorfismi e matrici. Criterio di diagonalizzabilità.
9. Teoria spettrale in spazi hermitiani ed euclidei
Proprietà spettrali degli operatori normali. Teorema spettrale complesso. Versione matriciale del teorema spettrale complesso. Teorema spettrale reale. Versione matriciale del teorema spettrale reale. Conseguenze del teorema spettrale reale: radice quadrata di una matrice definita positiva,
scomposizione polare di una matrice invertibile, proprietà estremali degli autovalori (senza dimostrazione). Teoria spettrale per proiezioni. Teoria spettrale per endomorfismi matriciali.
Elementi di geometria analitica
Coordinate cartesiane. Equazioni di rette e piani nello spazio. Retta come intersezione di due piani. Fascio di piani per una retta. Parallelismo e perpendicolarità fra rette, rette e piani, piani. Rette sghembe e complanari. Problemi metrici e angolari: angolo fra rette, piani, retta e piano; distanza di un punto da una retta, di un punto da un piano, fra due rette. Coniche e quadriche: teorema di classificazione affine e cenni sulla riduzione in forma canonica. Coniche e quadriche come luoghi geometrici. Luogo dei punti equidistanti da due rette. Luogo dei punti ottenuto dalla rotazione di una retta intorno ad un’altra retta.
Testi di riferimento
A. Nannicini Lezioni di Algebra Lineare Pitagora
A. Nannicini Esercizi svolti di algebra lineare vol. 1, 2 Pitagora
A. Nannicini, L. Verdi Note ed esercizi svolti di geometria analitica Pitagora
S. Lang Algebra lineare Boringhieri