B024548 - ANALISI MATEMATICA

Italiano

Numeri reali e complessi
Funzioni di una variabile
Limiti
Derivate
Formula di Taylor
Integrale di Riemann
Integrali generalizzati
Successioni e serie numeriche
Serie di potenze
Elementi di topologia
Funzioni di più variabili
Derivate parziali e direzionali
Continuità e differenziabilità
Ricerca di estremi liberi e vincolati
Integrali doppi e tripli
Curve parametriche
Integrali curvilinei e di superficie
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni a variabili separabili e lineari

Testi di riferimento:
Anichini G. - Conti G., Analisi Matematica 1,Pearson Education, 2008.
Anichini G. - Conti G., Analisi Matematica 2,Pearson Education, 2010.

Testi consigliati per esercizi:
Benevieri P., Esercizi di Analisi Matematica, Ed. De Agostini.
Marcellini P. - Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 1, Liguori
Editore.
Marcellini P. - Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 2, Liguori
Editore.
Salsa S. - Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.
Salsa S. - Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli.

Testi consigliati per consultazione :
Bertsch M. - Dal Passo R. - Giacomelli L., Analisi Matematica, McGraw Hill, Milano 2007.
Giaquinta M. - Modica G., Note di Analisi Matematica. Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna 2005.
Giaquinta M. - Modica G., Note di Analisi Matematica. Funzioni di piu'
variabili, Pitagora Editrice, Bologna 2006.

Materiale didattico inerente al corso e' reperibile all'indirizzo http://www.dma.unifi.it/~pera e viene aggiornato dal docente durante lo svolgimento del corso stesso.

Nel primo modulo, si prevede l'acquisizione di nozioni di base e l'approfondimento di concetti del calcolo differenziale e integrale in una dimensione; nel secondo modulo, il loro sviluppo in spazi a piu' dimensioni. Per una migliore comprensione del secondo modulo, e' opportuno che gli studenti abbiano assimilato le nozioni fondamentali del corso di geometria, nonche' i concetti introdotti nel primo modulo.
Obiettivo formativo e' acquisire una buona disposizione all'approccio teorico e al rigore logico-formale migliorando nel contempo la dimestichezza nel calcolo.

Nozioni e tecniche fondamentali apprese nei corsi di matematica della scuola media superiore. In particolare: calcolo formale, polinomi, equazioni e disequazioni algebriche, elementi di geometria analitica (il piano cartesiano, le rette, il cerchio, la parabola, ecc.), funzioni trigonometriche.

Il corso e' annuale e prevede 6 CFU (Analisi Matematica 1) e 6 CFU (Analisi Matematica 2) di didattica frontale costituita da lezioni di teoria e da esecizi svolti dal docente.

Per informazioni piu' dettagliate sul corso consultare l'indirizzo: http://www.dma.unifi.it/~pera

Il corso consta di due moduli: Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2. L'esame verte sul contenuto dei due moduli. Consiste in una prova scritta e in una successiva prova orale alla quale viene ammesso lo studente che abbia ottenuto almeno 14/30 nella prova scritta. Alla fine del primo modulo viene svolta una prova intermedia di Analisi Matematica 1, il cui superamento (non obbligatorio) alleggerisce il contenuto della prova scritta finale.

Il programma dettagliato del corso e il registro delle lezioni sono reperibili all'indirizzo
http://www.dma.unifi.it/~pera
Inoltre, si riporta qui di seguito l'elenco di tutti gli argomenti che costituiscono il programma del corso

Numeri

Insiemi (unione, intersezione, differenza, insieme vuoto,
complementare). Numeri naturali, relativi, razionali. I numeri reali:
assiomi algebrici, ordinamento. Quantificatori logici.
Disuguaglianze. Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi.
Intervalli. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo inferiore e
superiore di un insieme. Proprieta' di completezza dei reali. Proprieta' di
Archimede. Densita' dei razionali. Applicazioni tra insiemi, applicazioni
iniettive, suriettive, biiettive. Dominio, codominio, immagine e grafico
di una applicazione.

Funzioni reali di una variabile (limiti e continuita')

Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate. Funzioni monotone.
Funzioni inverse. Polinomi e funzioni razionali. Principali
funzioni trascendenti (funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche
e loro inverse, funzioni iperboliche). La funzione parte intera. Elementi di
topologia della retta reale: intorni di un punto, punti di accumulazione, punti isolati.
Massimi e minimi assoluti e relativi. Limiti delle funzioni (finiti e
infiniti). Teorema di unicita' del limite. Teorema della permanenza del segno.
Teorema dei carabinieri. Teorema sulle operazioni per il calcolo dei limiti. Forme
indeterminate. Limite destro e sinistro. Limite di funzione composta.
Cambiamento di variabile nei limiti. Teorema di
esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti fondamentali e conseguenze. Continuita'. Teorema di continuita' delle funzioni
combinate (somma, prodotto, quoziente e composizione). Classificazione delle
discontinuita'. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi e
applicazioni. Teorema
di continuita' di una funzione inversa. Teorema di
Weierstrass.



Funzioni reali di una variabile (derivate)

Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi. Interpretazione
geometrica della derivata. Differenziale. Regole di derivazione (somma, prodotto, quoziente,
composizione e funzione inversa). Derivate delle principali funzioni. Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange. Teoremi di de L'Hopital. Derivate di ordine superiore. Asintoti di una
funzione. Funzioni convesse in un intervallo. Condizioni sufficienti per l'esistenza di
massimi e minimi relativi. Punti di flesso. Studi di funzione.
Infinitesimi e infiniti.
Il simbolo o-piccolo. Formula di Taylor col resto nella forma di Peano. Formula di
Taylor col resto nella forma di Lagrange. Formula di MacLaurin. Applicazioni della formula
di Taylor al calcolo dei limiti e ad alcuni problemi di approssimazione.



Integrali semplici

Primitive. Integrali indefiniti. Formula di integrazione per parti per gli integrali indefiniti.
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti.
Integrazione delle funzioni elementari o dedotte da funzioni elementari.
Integrazione delle funzioni razionali. Alcuni metodi di integrazione.
Definizione di integrale definito. Insiemi trascurabili e condizione necessaria e
sufficiente per l'integrabilita'. Proprieta' degli integrali definiti (linearita',
monotonia, additivita'). Formula di integrazione per parti per gli integrali definiti.
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Teorema della media per
gli integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione del logaritmo tramite l'integrale. Applicazione
dell'integrale definito al calcolo di aree di figure piane e al calcolo di volumi di
solidi di rotazione. Integrali impropri. Criteri di convergenza (confronto, confronto
asintotico, convergenza assoluta). La funzione degli errori.
Successioni e serie numeriche reali

Definizione di successione. Limite di una
successione. Successioni convergenti, divergenti e indeterminate. Teoremi sui limiti delle
successioni. Successioni limitate. Successioni monotone. Estremo inferiore ed estremo
superiore di una successione. Teorema di esistenza del limite per le successioni monotone.
Il numero e come limite di una successione. Teorema di collegamento e alcune sue
applicazioni. Radice n-esima, n fattoriale e calcolo di alcuni limiti connessi
a queste nozioni.
Serie numeriche. Somma di una serie. Carattere di una serie. Condizione
necessaria per la convergenza. Serie geometrica. Serie armonica e serie armonica
generalizzata. Serie a termini positivi. Criterio del confronto. Criterio del
confronto asintotico. Criterio dell'integrale. Criterio della convergenza assoluta. Serie a segni alterni. Criterio di Leibniz.
Serie di funzioni. Convergenza semplice, assoluta e totale. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza totale. Passaggio al limite sotto il segno di integrale. Derivabilita' termine a termine. Serie di potenze. Raggio di convergenza e proprieta'. Serie di Taylor e sviluppi di alcune funzioni.



Funzioni di piu' variabili

Lo spazio R^2, R^3, R^k. Norma e distanza. Prodotto scalare. Disuguaglianza di Schwarz. Elementi
di topologia in R^k (intorni di un punto, punti di accumulazione, punti
isolati, punti interni, punti di frontiera, insiemi chiusi, insiemi
aperti, chiusura e frontiera di un insieme). Insiemi limitati. Successioni in R^k. Funzioni reali
di due o piu' variabili reali. Insiemi di livello. Limiti (finiti e
infiniti). Limiti direzionali. Continuita'. Teorema di continuita' delle
funzioni combinate. Teorema di Weierstrass.
Derivate parziali. Gradiente. Derivate direzionali. Differenziabilita' e
sue conseguenze. Piano tangente. Teorema
del differenziale totale. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di
Schwarz. Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria per i punti estremanti
(teorema di Fermat). Ricerca di massimi e minimi assoluti in insiemi
chiusi e limitati. Matrice hessiana (in due variabili). Condizione
sufficiente per i punti estremanti.
Funzioni vettoriali di piu' variabili. Limiti e continuita'. Matrice
jacobiana. Coordinate polari, sferiche, cilindriche e loro jacobiani.


Integrali multipli

Integrali doppi. Insiemi trascurabili in R^2 e condizione
necessaria e sufficiente per l'integrabilita' in un rettangolo. Teorema di riduzione per gli
integrali doppi (di Fubini). Integrale in un insieme limitato di R^2.
Proprieta' degli
integrali doppi (linearita', monotonia, additivita'). Formule di riduzione
deducibili dal Teorema di Fubini.
Formula di
cambiamento di variabili per gli integrali doppi. Applicazioni degli
integrali doppi al calcolo di masse, centri di massa e momenti d'inerzia. Calcolo dell'integrale della funzione di Gauss tramite gli integrali doppi.
Integrali tripli. Insiemi trascurabili in R^3 e condizione
necessaria e sufficiente per l'integrabilita'. Teorema di riduzione per gli
integrali tripli (di Fubini). Integrale in un insieme limitato di
R^3. Proprieta' degli
integrali tripli (linearita', monotonia, additivita'). Formule
di riduzione per gli integrali tripli
(formula degli "spaghetti" e delle "fette"). Formula di cambiamento di
variabili per gli integrali tripli. Applicazioni degli integrali tripli
al calcolo di masse e centri di massa.


Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni del primo ordine in forma normale. Definizione di
soluzione. Soluzioni massimali.
Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di
esistenza e unicita' (della soluzione massimale del problema di
Cauchy). Equazioni a variabili separabili. Integrazione delle
equazioni lineari del primo ordine a coefficienti continui. Equazioni di ordine n in forma normale.
Funzioni linearmente indipendenti. Integrazione delle equazioni differenziali
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodi di variazione
delle costanti (facoltativo) e altri metodi pratici per la determinazione di una
soluzione particolare delle equazioni lineari non omogenee. Esempio dell'oscillatore armonico.
Cenno ad alcuni problemi ai limiti per equazioni del secondo ordine.


Numeri complessi

I numeri complessi. Parte reale e parte immaginaria. Somma, prodotto,
quoziente di numeri complessi. Coniugato. Modulo. Piano complesso.
Forma trigonometrica di un numero complesso. Forma esponenziale di un
numero complesso. Formule di Eulero. Potenza n-esima di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso e loro calcolo. Polinomi in campo complesso.
Teorema fondamentale dell'algebra.


Curve e integrali curvilinei

Curve parametriche in R^k. Curve chiuse, semplici, sostegno di una curva. Curve
regolari e regolari a tratti. Definizione di integrale curvilineo non orientato e sue proprieta' di linearita', monotonia, additivita'. Curve rettificabili. Teorema di riduzione di un integrale curvilineo non orientato ad un integrale semplice. Cambiamento di parametro e curve equivalenti. Teorema di indipendenza dell'integrale non orientato dalla parametrizzazione. Applicazioni al calcolo di masse, centri di massa e momenti d'inerzia di un filo.