Introduction to Nonlinear Dynamical Systems
Internal and External Stability
Lyapunov method for stability analysis
Input to State Stability and Small gain Theorem
Dissipative and passive systems
Nonlinear feedback design by means of Control Lyapunov Functions
Monotone Systems
Alternative approaches to stability analysis: contraction theory and dual Lyapunov functions
Applied Nonlinear Control, SLOTINE, LI, Prentice Hall
Nonlinear Systems, SASTRY, Springer
Nonlinear Control Systems II, ISIDORI, Springer
Learning Objectives
Understanding of nonlinearity and its implications on systems' dynamics.
Stability concepts and associated analysis techniques.
Feedback design based on passivity and Lyapunov functions.
Teaching Methods
Classes on the blackboard. Lecture notes covering parts of the module.
Type of Assessment
Oral examination
Course program
1) 28/09/2016 lezione Introduzione ai sistemi nonlineari. Rappresentazione di stato e mappe di transizione globale. Classificazione sistemi:linearita', tempo-invarianza e sistemi autonomi.
2) 29/09/2016 lezione Teorema esistenza della soluzione per equazioni differenziali nonlineari. Condizioni per l'unicita'. Soluzioni con finite escape time. Dipendenza continua dalle condizioni iniziali. Punti di equilibrio e soluzioni periodiche. Insieme omega-limite. Insiemi invarianti.
3) 05/10/2016 lezione Proprietà dell'insieme omega-limite. Studio di sistemi unidimentionali. Sistemi bidimensionalil: piano delle fasi e nullclines.
4) 06/10/2016 lezione Teorema di Hartman-Grossman e utilizzo per piano delle fasi. Criterio di Poincare' Bendixson e suo utilizzo per piano delle fasi. Esempi tracciamento piano delle fasi. Classificazione piano delle fasi per sistemi lineari: nodo, sella, fuoco e centro.
5) 13/10/2016 lezione Stabilita' alla Lyapunov e Attrattivita', definizioni e significato. Punti di equilibrio. Stabilita' esponenziale. Esempi e controesempi (equilibrio stabile non attrattivo, equilibrio attrattivo non stabile). Funzioni positive (negative) definite e semidefinite.
6) 19/10/2016 lezione Criteri di stabilità alla Lyapunov: globali e locali. Funzioni radialmente illimitate. Esempi.
7) 20/10/2016 lezione Esempio sistema lineare II ordine con saturazione. Funzione di Lyapunov globale. Principio di invarianza di Lasalle. Teorema di Massera. Criteri di instabilità alla Lyapunov.
8) 26/10/2016 lezione Stabilità di sistemi lineari mediante funzioni di Lyapunov. Funzioni di Lyapunov quadratiche ed equazioni di Lyapunov. Dimostrazione del metodo della linearizzazione per la stabilità asintotica locale. Criterio di stabilità di Krasowskii.
9) 27/10/2016 lezione Stabilita' di sistemi nonlineari con ingressi. Stabilita' BIBO sistemi lineari. Stabilita' ingresso-stato. Funzioni di paragone: K,L e KL. Stabilita' ingresso stato integrale. Manipolazione di funzioni di paragone.
10) 02/11/2016 lezione Stabilità Globale asintotica Uniforme e charatterizzazione alla Lyapunov. Caratterizzazione alla Lyapunov della ISS. Esempi di sistemi ISS.
11) 03/11/2016 lezione Sistemi interconnessi: cascata; ISS di sistemi a cascata; Stabilità asintotica di sistemi in cascata. Conseguenze della ISS: BIBS e CICS.
12) 09/11/2016 lezione Teorema del piccolo guadagno per sistemi ISS. Esempi di utilizzo. Caratterizzazione alla Lyapunov della proprietà ISS integrale.
13) 10/11/2016 lezione Sistemi Dissipativi: Definizione e test mediante disuguaglianze di Lyapunov. Available Storage and Required Supply. Passivita' per sistemi nonlineari. Interconnessione di sistemi passivi: parallelo e feedback negativo. Esempi di sistemi passivi.
14) 16/11/2016 lezione Controllabilità asintotica, caso lineare e nonlineare. Funzioni di Lyapunov per il controllo (CLF). Stabilizzabilità: caso lineare e nonlineare. Equivalenza fra concetti.
15) 17/11/2016 lezione Formula di Sontag per la sintesi di feedback mediante CLF. Dualizzazioni dei concetti di stabilizzabilità: rivelabilità, OSS e IOSS, caratterizzazioni alla Lyapunov.
16) 23/11/2016 lezione Equazione Variazionale per calcolo sensitività. Contraction analysis. Metodo di Lyapunov duale. Esempio.
17) 24/11/2016 lezione Definizioni di ordinamento parziale. Cono di positività. Sistemi monotoni e strettamente monotoni. Test di monotonicità basati sul criterio di Nagumo.
18) 30/11/2016 lezione Monotonia rispetto ad ortanti generici. Interpretazione grafica delle condizioni. Matrici irriducibili e criterio di monotonia forte.
19) 01/12/2016 lezione Caratteristiche statiche sistemi monotoni con ingressi. Condizioni di monotonia sistemi con ingressi. Utilizzo delle caratteristiche statiche per calcolo guadagno asintotico.
20) 07/12/2016 lezione Decomposizione di insieme invarianti per sistemi multistabili. Decomposizioni acicliche e teoremi di Lyapunov.