B019518 - ANALISI MATEMATICA II

Italiano

Analisi Matematica II (Programma sintetico):
Calcolo differenziale e integrale in piu' variabili, ovvero:
Lo spazio R^n. Curve, integrali curvilinei.
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili, a valori reali; ottimizzazione libera e vincolata.
Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali; superfici in forma parametrica.
Calcolo integrale per funzioni di piu' variabili.
Campi vettoriali ed integrali di linea relativi. Integrali di superficie.

Testo di riferimento:

Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa,
Analisi matematica 2, Ed. Zanichelli Bologna (acquistare sempre l'edizione piu' recente).

Nota: I temi affrontati nel corso sono 'ultra-classici', e percio' trattati in tutti i testi con titolo (italiano) "Analisi Matematica II".

Altri testi consigliati:

Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa,
Analisi matematica 2, seconda edizione, Zanichelli.

Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori Ed.

Enrico Giusti,
Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 3^ edizione interamente riveduta ed ampliata 2003.

Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica
Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006.

Di testi che discutono problemi ed esercizi traboccano biblioteche e librerie; un ottimo libro e' quello di

Boris P. Demidovic
Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010.

Prerequisiti: Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali di una variabile.
Precedenze (formali): Analisi Matematica I, Geometria

Lezioni (in aula), in assenza di rigida separazione tra teoria e pratica.
La discussione di problemi/esercizi assegnati (generalmente con cadenza bisettimanale) dalla docente e' parte integrante del corso.

Durata del corso: 13 settimane, dal 25 Settembre al 22 Dicembre 2017; 54 ore nominali

Orario delle lezioni:
Mar. ore 8:15-10:00 presso il Centro Didattico Morgagni;
Gio. ore 8:25-11:10 presso la sede della Scuola (Via S. Marta)

La prova d'esame del Corso Integrato (C.I.) consiste di prove distinte per i due differenti moduli, da effettuare nello stesso appello oppure in appelli differenti (evemtuali vincoli saranno precisati a breve); ad esse segue una valutazione complessiva effettuata collegialmente dai docenti.

Specificamente riguardo al Modulo "Analisi Matematica II":
Prova scritta (della durata di due ore e mezza) e -- se ammessi -- successiva prova orale, a stretto giro.
Si e' ammessi al colloquio con giudizio almeno "Quasi sufficiente"; per il colloquio occorre prevedere di discutere l'elaborato.
Gli appelli sono distinti tra loro: salvo diversa indicazione da parte della docente, la prova orale non puo' essere procrastinata ad altri appelli.

Premessa:
Il programma esteso seguente e' indicativo; in particolare, i temi contrassegnati da * potrebbero non rientrare nel programma definitivo.
Il programma dettagliato si desume dal Registro delle lezioni consultabile
dal sito della docente alla voce Didattica (Teaching Activity), A.A. 2017/18

Analisi Matematica II (Bucci Francesca)

Richiami sullo spazio R^n: prodotto scalare, norma euclidea, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, subadditivita' della norma.

Curve in forma parametrica: sostegno, orientazione, curve semplici, curve chiuse.
Esempi. Casi particolari di curve piane: grafici di funzioni, curve in forma polare.
Vettore velocita' e retta tangente; curve regolari e regolari a tratti.
Parametrizzazioni equivalenti. Curve rettificabili, lunghezza di una curva; formula per la lunghezza di una curva regolare. Il parametro lunghezza d'arco, integrali curvilinei di prima specie. Applicazioni fisiche e geometriche.

Funzioni di piu' variabili, a valori reali: grafici, insiemi di livello.
Elementi di topologia in R^n: insiemi aperti, insiemi chiusi, punti interni, punti d'accumulazione.
Limiti e continuita'. Proprieta' delle funzioni continue: il Teorema di Weierstrass, il Teorema degli zeri.

Derivate direzionali, derivate parziali. Approssimazione lineare e differenziabilita'.
Piano tangente e vettore normale al grafico. Vettore gradiente, differenziale.
Condizioni sufficienti per la differenziabilita': il Teorema del differenziale totale. Derivazione di funzioni composte: casi rilevanti, regola della catena.

Derivate di ordine superiore e approssimazioni successive: funzioni di classe C^k, matrice hessiana, Teorema di Schwarz. Formula di Taylor del secondo ordine.

Ottimizzazione libera: punti di estremo relativo, condizioni "del prim'ordine" per l'esistenza di punti di estremo, il Teorema di Fermat.
*[Forme quadratiche in R^n, classificazione: forme definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Test degli autovalori. Condizioni "del second'ordine": condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per una funzione di classe C^2.]

Funzioni definite implicitamente: Teorema delle funzioni implicite (o di Dini).

Funzioni di piu' variabili a valori vettoriali: generalita', matrice jacobiana.
Superfici in forma parametrica: sostegno, superfici regolari, piano tangente; superfici regolari a pezzi. Esempi. Trasformazioni di coordinate, invertibilita' locale e globale di trasformazioni.

Ottimizzazione vincolata: Il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.

Integrale secondo Riemann di funzioni di piu' variabili.
Integrale di una funzione continua in un rettangolo. Funzioni integrabili su insiemi semplici, regolari, misurabili (secondo Peano-Jordan). Caratterizzazione degli insiemi di misura nulla.
Classi di funzioni integrabili. Calcolo degli integrali doppi: metodo di riduzione.
Cambiamento di variabili negli integrali multipli.
Applicazioni fisiche: calcolo di baricentri e di momenti d'inerzia.

Campi vettoriali, linee di campo. Divergenza e rotore. Integrale di un campo vettoriale lungo una curva orientata. Campi conservativi, potenziali; caratterizzazione mediante gli integrali curvilinei. Campi irrotazionali, insiemi semplicemente connessi. Esempi.
*Campi solenoidali e potenziale vettore.
*Formule di Gauss-Green nel piano.

Area di una superficie. Integrali di superficie di funzioni.
Integrale di superficie di un campo, flusso. Teorema della divergenza.
*Formula di Stokes in R^3.