Dispense distribuite a lezione, costituite da 4 parti:
Dinamica dei sistemi
Teoria delle piccole oscillazioni
Dinamica dei corpi rigidi
Meccanica dei continui
reperibili su http://www.dma.unifi.it/~frosali/didattic/commec/dispense/dispense.htm
Testi di riferimento:
G.Frosali, E.Minguzzi, Meccanica Razionale per l'Ingegneria, Esculapio, Bologna, 2015
H.Goldstein, C.Poole, J.Safko, Meccanica classica, Zanichelli, 2005.
Oltre alle dispense distribuite a lezione, vi sono tesine su argomenti specifici, sia in formato cartaceo che elettronico, con simulazioni ed esperimenti numerici.
Obiettivi Formativi
Gli obiettivi principali del corso sono completare alcuni aspetti della Meccanica Razionale che non sono stati svolti esaurientemente nel corso di Meccanica Razionale, quali le Equazioni di Lagrange di II specie, la teoria delle piccole oscillazioni, la Dinamica dei rigidi e la Meccanica dei Continui.
Con questo corso si intende fare acquisire allo studente maggiori capacita' nel modellare i fenomeni meccanici relativamente alla dinamica dei sistemi rigidi o composti da piu' parti rigide ed alla teoria delle vibrazioni.
Prerequisiti
Meccanica Razionale
Metodi Didattici
Le modalita' didattiche sono tradizionali: lezioni su lavagna in gesso, con eventuale ausilio di proiezioni di slides.
Modalità di verifica apprendimento
La prova finale consiste in una prova orale, con tre domande su tre delle quattro parti che costituiscono nel corso.
Programma del corso
COMPLEMENTI DI MECCANICA RAZIONALE
C. d. L. in INGEGNERIA MECCANICA
RICHIAMI DI DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO. Analisi del concetto di vincolo. Definizione di vincolo semplice, doppio e triplo. Introduzione delle coordinate lagrangiane nel caso di un punto. Definizione e caratterizzazione delle velocità possibili. Vincoli mobili. Velocità virtuali e velocità di trascinamento. Significato ed esempi di velocità virtuale. Esempi di vincolo semplice e doppio. Velocità virtuale di un punto vincolato ad una circonferenza con raggio mobile. Reazioni vincolari. Prima definizione di vincolo liscio. Caratterizzazione dei vincoli lisci (potenza virtuale nulla). Principio dei lavori virtuali. Teorema delle forze vive per il punto vincolato. Lavoro del vincolo mobile. Equazioni di moto per un punto vincolato ad una superficie e ad una linea (richiami ed esempi).
MECCANICA DEI SISTEMI OLONOMI. Introduzione alla meccanica dei sistemi. Sistemi olonomi. Vincoli olonomi: compatibilità ed indipendenza. Coordinate lagrangiane. Spazio delle configurazioni. Esempi di spazi delle configurazioni. Velocità possibili. Stato cinematico di un sistema olonomo. Spazio delle fasi. Spazio tangente allo spazio delle configurazioni. Velocità virtuali. Caratterizzazione degli atti di moto virtuale. Spazio normale allo spazio delle configurazioni. Ancora sullo spazio tangente e normale. Vincoli olonomi lisci. Potenza virtuale delle reazioni. Principio dei lavori virtuali. Caratterizzazione di vincoli bilateri lisci. Vincoli bilateri lisci e caratterizzazione delle reazioni. Reazioni generalizzate e forze generalizzate. Equazioni di Lagrange di I specie. Forze generalizzate. Statica dei sistemi olonomi a vincoli lisci. Esercizi sulle equazioni di Lagrange di I specie. Due punti vincolati su due guide e mantenuti a distanza costante. Equazione simbolica della statica. Statica dei sistemi rigidi. Equazioni cardinali della statica. Applicazioni del principio dei lavori virtuali. Equazione simbolica della dinamica dei sistemi. Equazioni di Lagrange di specie e loro dimostrazione. Sistemi di forze conservative e funzione Lagrangiana. Commenti sulle equazioni di Lagrange di II specie. Applicazioni del formalismo lagrangiano: il pendolo composto, moto di un punto nel piano in coordinate polari, la macchina di Atwood
Epressione lagrangiana dell'energia cinetica. La conservazione dell'energia meccanica nel caso di vincoli fissi. Cenni al potenziale generalizzato. Proprietà strutturali delle equazioni di Lagrange di II specie. Forma normale delle equazioni differenziali.
CENNI SULLA STABILITA' DELL'EQUILIBRIO DEI SISTEMI OLONOMI.
Cenno sull'analisi qualitativa delle equazioni differenziali. Esempi: moto armonico e moto iperbolico, nel piano delle fasi. Concetto e definizione di stabilità. Stabilità asintotica. Definizione di instabilità. Funzione di Liapunov. Cenno ai criteri di stabilità di Liapunov.
PICCOLE OSCILLAZIONI E MODI NORMALI. Introduzione al problema delle piccole oscillazioni intorno ad una configurazione di equilibrio. Formulazione del problema. Punto vincolato ad una circonferenza, punto vincolato ad una ellisse. Approssimazione dell'energia cinetica e del potenziale. Forme quadratiche dell'energia e del potenziale. Lagrangiana per le piccole oscillazioni. Equazioni lineari accoppiate per le piccole oscillazioni. Cenno ai modi normali di oscillazione. Alcuni esempi. Pendoli accoppiati. Ricerca di soluzioni con la stessa frequenza. Problemi agli autovalori. Frequenze proprie di oscillazioni. Matrice modale. Coordinate normali e modi normali di oscillazione. Esempio di due punti collegate con molle, il caso del bipendolo, la molecola triatomica.
DINAMICA DEI CORPI RIGIDI. Dinamica dei sistemi rigidi. Sistemi rigidi liberi. Rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso. Rotazione. Prima giustificazione dell'effetto giroscopico. Moti di precessione. Equazioni di Eulero e loro derivazione. Precessioni per inerzia. Integrali primi di moto. Interpretazione del moto alla Poinsot. Polo del moto. Poloide ed erpoloide. Cenno alle proprietà dinamiche degli assi principali d'inerzia. Esercizio. Moto della trottola pesante con un punto fisso. Precessione stazionaria e frequenze di precessione. Equazioni di Lagrange applicate alla trottola pesante. Integrali primi di moto. Analisi qualitativa del moto dell'asse della trottola. Corpi a struttura giroscopica. Equazioni di Eulero per un giroscopio. Effetti giroscopici: tenacia dell'asse giroscopico e tendenza al parallelismo. Analisi della cerniera sferica di un giroscopio. Stima delle forze vincolari e del momento delle forze vincolari. Soluzione delle equazioni di Eulero. Soluzione esatta della componente secondo l'asse giroscopico Stima delle altre componenti angolari. Giustificazione matematica degli effetti giroscopici. Il caso della trottola pesante. La bussola giroscopica.
MECCANICA DEI SISTEMI CONTINUI. Cinematica dei sistemi continui. Relazioni cinematiche e relative proprietà. Approccio lagrangiano - Approccio euleriano. La derivata materiale. Principi ed Equazioni Fondamentali. Equazione di continuità. Il Teorema del Trasporto. Equazioni fondamentali. Forze. Statica e Dinamica. Il tensore degli sforzi di Cauchy. Equazioni indefinite di bilancio. Appendice. L’accelerazione di Lagrange. Vorticità .
Statica e dinamica dei fluidi. I fluidi perfetti. Trinomio di Bernoulli. Il campo delle velocità. Fluidi viscosi. Introduzione ai fluidi viscosi. Fluidi viscosi. Equazioni di Navier Stokes. Adimensionalizzazione delle equazioni di Navier-Stokes. L’approssimazione di strato limite. L’equazione dello strato limite. Flussi con strato limite. Equazioni fondamentali per fluidi viscosi.
(facoltativo) Elasticità lineare. Misure di deformazione. Formula di variazione di lunghezza relativa. Il tensore della deformazione finita. Misura delle deformazioni infinitesime. Direzioni principali e valori principali.Materiali elastici lineari. Legame costitutivo per materiali elastici, lineari, omogenei ed isotropi. Legame costitutivo inverso e moduli