Equazioni Differenziali Ordinarie del I e II ordine lineari, a coefficienti costanti o a coefficienti continui. Problemi ai limiti per EDO, autovettori e autofunzioni.
Equazioni alle Derivate Parziali del I ordine quasi lineari e del II ordine lineari a coefficienti costanti.
Classificazione delle equazioni del II ordine.
Problemi al contorno per l'equazione di Laplace, del calore, delle onde. Metodo di separazione delle variabili.
Serie e trasformate di Fourier.
Trasformata di Laplace.
- Appunti del docente reperibili all'indirizzo http://www.dma.unifi.it/~pera
- Mugelli F. -- Spadini M., Metodi matematici, Società Editrice Esculapio, 2013.
Testi consigliati per consultazione :
- Nakhlé H. Asmar, Partial Differential Equations, with Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson, 2004.
- Bramanti M., Metodi di analisi Matematica per l'Ingegneria, Società Editrice Esculapio, 2017.
- Tomarelli F., Mathematical Analysis Tools for Engineering, Società Editrice Esculapio, 2019.
Obiettivi Formativi
La conoscenza dei principi matematici e la comprensione del ruolo delle scienze matematiche come strumento di analisi e risoluzione di problemi e modelli alla base dell'ingegneria industriale ed in particolare dell'ingegneria meccanica.
Obiettivo formativo e' quello di rinforzare la disposizione all'approccio teorico e al rigore logico-formale acquisiti attraverso i corsi di Matematica di base, imparando a modellizzare alcuni importanti fenomeni fisici (teoria del potenziale, fenomeni di diffusione, propagazione delle onde) e a conoscere metodi e tecniche per la loro risoluzione almeno in casi particolari.
Prerequisiti
Argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e nel corso di Geometria.
Metodi Didattici
Lezioni ed esercizi in aula.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste in una prova orale. Lo studente dovrà mostrare la capacità di applicare le tecniche e i metodi matematici appresi alla modellizzazione, analisi e risoluzione di problemi derivanti dalle applicazioni e di interesse per l'Ingegneria Meccanica.
Programma del corso
Equazioni Differenziali Ordinarie.
Equazione del I ordine. Soluzioni massimali. Problema di Cauchy.
Equazioni a variabili separabili.
Equazioni lineari del primo ordine; metodo di variazione della costante.
Equazioni del II ordine lineari a coefficienti costanti e a coefficienti continui, omogenee e non.
Wronskiano. Teorema della dimensione. Problema di Cauchy.
Metodi per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea.
Moto armonico, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate.
Equazione di Eulero.
Equazione di Legendre (di ordine 1): risoluzione col metodo di d'Alembert.
Soluzione per serie. Soluzioni analitiche.
Il metodo di Frobenius.
Funzioni di Bessel e loro proprietà.
Problemi ai limiti per equazioni del second'ordine. Autovalori e autofunzioni.
Problemi di Sturm Liouville. Teorema dell'alternativa (di Fredholm).
Norme e prodotti scalari.
Spazi completi, Spazi di Banach e di Hilbert.
Lo spazio L^2 : esempio di un sistema ortonormale di funzioni periodiche.
Polinomi trigonometrici.
Serie di Fourier : convergenza puntuale, convergenza uniforme.
Serie di Fourier complesse. Serie bilatera.
Fenomeno di Gibbs.
Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali.
Equazioni lineari e quasi-lineari.
Applicazioni delle serie di Fourier alle EDP: equazione della corda vibrante e equazione del calore in una dimensione;
Problema di Cauchy per equazioni del prim'ordine quasi-lineari. Teorema di esistenza locale e unicità.
Curve caratteristiche.
Leggi di conservazione. Punti di shock.
Flusso di automobili in un'autostrada.
Equazioni del second'ordine lineari.
Classificazione in ellittiche, paraboliche, iperboliche.
Problemi di Dirichlet e Neumann per l'equazione di Poisson.
Problemi di Cauchy-Dirichlet e Cauchy-Neumann per equazioni paraboliche e iperboliche.
Problemi ben posti (secondo Hadamard).
Esempi di problemi mal posti: il problema retrogrado e l'esempio di Hadamard.
Soluzioni radiali dell'equazione di Laplace.
Laplaciano in coordinate polari.
Risoluzione dell'equazione delle onde mediante il metodo di riflessione.
Trasformata di Fourier: proprietà ed esempi.
Inversa della trasformata.
Trasformata della Gaussiana.
Convoluzioni e loro trasformate.
Applicazioni della trasformata a equazioni ordinarie del second'ordine lineari non omogenee e a problemi di Dirichlet in un semispazio per l'equazione di Laplace e per quella del calore.
Soluzione fondamentale dell'equazione del calore.
Trasformata di Laplace: proprietà ed esempi.
Ascissa di convergenza.
Inversa della trasformata.
Trasformata di una convoluzione.
Applicazioni della trasformata a equazioni ordinarie e ad equazioni integro-differenziali.