Equazioni Diff. Ordinarie del I e II ordine lineari, a coefficienti costanti o a coefficienti continui. Problemi ai limiti per EDO, autovettori e autofunzioni. Equazioni alle Derivate Parziali del I ordine quasi lineari e del II ordine lineari a coefficienti costanti. Classificazione delle equazioni del II ordine. Problemi al contorno per l'equazione di Laplace, del calore, delle onde. Metodo di separazione delle variabili. Serie e trasformate di Fourier. Trasformata di Laplace.
- Appunti del docente reperibili all'indirizzo http://www.dma.unifi.it/~pera - Mugelli F. -- Spadini M., Metodi matematici, Società Editrice Esculapio, 2013. Testi consigliati per consultazione : - Nakhlé H. Asmar, Partial Differential Equations, with Fourier Series and Boundary Value Problems, Pearson, 2004. - Bramanti M., Metodi di analisi Matematica per l'Ingegneria, Società Editrice Esculapio, 2017. - Tomarelli F., Mathematical Analysis Tools for Engineering, Società Editrice Esculapio, 2019.
Obiettivi Formativi
La conoscenza dei principi matematici e la comprensione del ruolo delle scienze matematiche come strumento di analisi e risoluzione di problemi e modelli alla base dell'ingegneria industriale ed in particolare dell'ingegneria meccanica. Obiettivo formativo e' quello di rinforzare la disposizione all'approccio teorico e al rigore logico-formale acquisiti attraverso i corsi di Matematica di base, imparando a modellizzare alcuni importanti fenomeni fisici (teoria del potenziale, fenomeni di diffusione, propagazione delle onde) e a conoscere metodi e tecniche per la loro risoluzione almeno in casi particolari.
Prerequisiti
Argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica 1 e 2 e nel corso di Geometria.
Metodi Didattici
Lezioni teoriche e eserczi
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste in una prova orale. Lo studente dovrà mostrare la capacità di applicare le tecniche e i metodi matematici appresi alla modellizzazione, analisi e risoluzione di problemi derivanti dalle applicazioni e di interesse per l'Ingegneria Meccanica.
Programma del corso
Equazioni Differenziali Ordinarie. Equazione del I ordine. Soluzioni massimali. Problema di Cauchy. Equazioni a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine; metodo di variazione della costante. Equazioni del II ordine lineari a coefficienti costanti e a coefficienti continui, omogenee e non. Wronskiano. Teorema della dimensione. Problema di Cauchy. Metodi per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Moto armonico, vibrazioni smorzate, vibrazioni forzate. Equazione di Eulero. Equazione di Legendre (di ordine 1): risoluzione col metodo di d'Alembert. Soluzione per serie. Soluzioni analitiche. Il metodo di Frobenius. Funzioni di Bessel e loro proprietà. Problemi ai limiti per equazioni del second'ordine. Autovalori e autofunzioni. Problemi di Sturm Liouville. Teorema dell'alternativa (di Fredholm). Norme e prodotti scalari. Spazi completi, Spazi di Banach e di Hilbert. Lo spazio L^2 : esempio di un sistema ortonormale di funzioni periodiche. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier : convergenza puntuale, convergenza uniforme. Serie di Fourier complesse. Serie bilatera. Fenomeno di Gibbs. Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali. Equazioni lineari e quasi-lineari. Applicazioni delle serie di Fourier alle EDP: equazione della corda vibrante e equazione del calore in una dimensione; Problema di Cauchy per equazioni del prim'ordine quasi-lineari. Teorema di esistenza locale e unicità. Curve caratteristiche. Leggi di conservazione. Punti di shock. Flusso di automobili in un'autostrada. Equazioni del second'ordine lineari. Classificazione in ellittiche, paraboliche, iperboliche. Problemi di Dirichlet e Neumann per l'equazione di Poisson. Problemi di Cauchy-Dirichlet e Cauchy-Neumann per equazioni paraboliche e iperboliche. Problemi ben posti (secondo Hadamard). Esempi di problemi mal posti: il problema retrogrado e l'esempio di Hadamard. Soluzioni radiali dell'equazione di Laplace. Laplaciano in coordinate polari. Risoluzione dell'equazione delle onde mediante il metodo di riflessione. Trasformata di Fourier: proprietà ed esempi. Inversa della trasformata. Trasformata della Gaussiana. Convoluzioni e loro trasformate. Applicazioni della trasformata a equazioni ordinarie del second'ordine lineari non omogenee e a problemi di Dirichlet in un semispazio per l'equazione di Laplace e per quella del calore. Soluzione fondamentale dell'equazione del calore. Trasformata di Laplace: proprietà ed esempi. Ascissa di convergenza. Inversa della trasformata. Trasformata di una convoluzione. Applicazioni della trasformata a equazioni ordinarie e ad equazioni integro-differenziali.