Nozioni di base dell'analisi numerica. Soluzione numerica di sistemi lineari. Approssimazione di dati e funzioni.
Soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie: metodi per problemi ai valori iniziali e per problemi ai limiti. Introduzione a Matlab per l’implementazione di metodi numerici.
Chapra, S., Canale, R., Numerical methods for engineers, Mc-Graw Hill.
Kahaner, D., Moler, C., Nash, S., Numerical methods and software, Prentice Hall.
W. Palm III, Introduction to Matlab for engineers, Mc-Graw Hill, 2005.
Obiettivi Formativi
Il corso riguarda lo studio e l’implementazione di metodi per la risoluzione numerica di problemi matematici. Lo scopo del corso è illustrare le metodologie di base dell’analisi numerica per risolvere i problemi matematici che si presentano nelle applicazioni, con particolare attenzione agli aspetti legati alla realizzazione e all’utilizzo di tali metodologie.
Conoscenze acquisite:
Lo studente apprende metodi numerici classici per risolvere i problemi matematici considerati.
Competenze acquisite:
Lo studente acquisisce le competenze per comprendere le problematiche legate alla risoluzione numerica di problemi matematici.
Capacità acquisite:
Lo studente sarà in grado di scegliere e usare il metodo numerico piùadatto a risolvere un dato problema, e interpretare i risultati numerici.
Lo studente sarà inoltre in grado di sviluppare ed usare semplici programmi nell’ambiente Matlab per risolvere i problemi matematici considerati.
Prerequisiti
Elementi di algebra lineare: vettori, matrici, determinanti, sistemi lineari. Elementi di analisi matematica: successioni e loro convergenza, limiti e continuità delle funzioni reali, concetti di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni in una e più variabili.
Metodi Didattici
Lezioni frontali e esercitazioni in aula informatica.
Lezioni frontali: esposizione della teoria in programma, con interazione diretta docente-studente per facilitare e assicurare la piena comprensione della materia.
Esercitazioni in aula informatica: sessioni pratiche per imparare a risolvere numericamente i problemi matematici in ambiente Matlab.
Le sessioni sono svolte in modo da:
-- aiutare gli studenti a sviluppare le capacità di applicare le conoscenze acquisite;
-- migliorare la loro autonomia di giudizio, in particolare nella interpretazione dei risultati ottenuti.
Piattaforma Moodle: sviluppo dell’interazione online docente-studente, diffusione di dispense integrative, di raccolte di esercizi.
Altre Informazioni
Frequenza delle lezioni ed esercitazioni: Raccomandata
Strumenti a supporto della didattica: libri di testo, dispense, UniFi E-Learning: http://e-l.unifi.it
Modalità di verifica apprendimento
Prova orale: sarà prevalentemente rivolto ad accertare un'adeguata conoscenza degli argomenti contenuti nel programma del corso, compreso l’uso dell’ambiente Matlab per l’implementazione dei metodi numerici.
Programma del corso
Concetti fondamentali: condizionamento di un problema, stabilità e convergenza di un metodo numerico, sorgenti di errore nei modelli computazionali, aspetti fondamentali degli algoritmi numerici.
Aritmetica in precisione finita: rappresentazione floating-point dei numeri, precisione di macchina, operazioni aritmetiche in precisione finita, errori di arrotondamento.
Sistemi lineari: soluzione di sistemi triangolari, eliminazione gaussiana, fattorizzazione LU e tecniche di pivoting.
Approssimazione di dati e funzioni: problema dell’interpolazione polinomiale, interpolazione polinomiale a tratti, cenni a funzioni spline univariate e spline cubiche interpolanti. Data fitting mediante metodo dei minimi quadrati.
Richiami su equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie; problemi ai valori iniziali e problemi ai valori agli estremi, soluzione analitica e soluzione numerica. Metodi espliciti a passo singolo per problemi a valori iniziali, metodi alle differenze finite per problemi ai valori agli estremi, convergenza e aspetti computazionali.
Regole e istruzioni di base di Matlab. Rappresentazione e salvataggio dei dati,operazioni e funzioni fondamentali, creazione e gestione di vettori e matrici. Programmare con Matlab: script e funzioni, istruzioni di scelta e di ripetizione, operatori logici. Funzioni (grafiche) predefinite in Matlab. Introduzione all'uso di strumenti per l'analisi delle immagini.