Geometria dello spazio, vettori, sistemi di riferimento.
Cinematica.
Dinamica del punto materiale e generalità sui sistemi dinamici.
Dinamica dei sistemi di punti materiali e e dei corpi rigidi.
Dinamica dei sistemi vincolati e meccanica Lagrangiana.
Contenuto del corso - Cognomi M-Z
1) Teoremi generali sui sistemi di punti materiali
2) Cinematica dei sistemi rigidi
3) Geometria e cinematica delle masse
4) Teoria dei momenti e delle viti
5) Formalismo Lagrangiano e principio dei lavori virtuali
6) Piccole oscillazioni
7) Elementi di Meccanica dei continui
Vedere
http://www.dma.unifi.it/~minguzzi/
o pagina Moodle del corso per un programma più dettagliato.
Testo di riferimento:
L. Barletti, G. Frosali, Meccanica Razionale per l'Ingegneria. Ed. Esculapio 2020
Altri testi:
- G. Frosali, F. Ricci, Esercizi di Meccanica Razionale. Ed. Esculapio, 2013
- R. Ricci, Lezioni di Sistemi Dinamici. Firenze University Press, 2016.
- H. Goldstein, Meccanica Classica. Zanichelli, 1991.
- V. I. Arnold, Ordinary Differential Equations. Springer, 1992.
Testi di riferimento TESTI_RIF 15000 Sì 1) Frosali, Minguzzi, Meccanica Razionale per l'Ingegneria, Esculapio 2015
2) A. Fasano, V. de Rienzo e A. Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza 1989
3) Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli 1991. 1) Frosali, Minguzzi, Meccanica Razionale per l'Ingegneria, Esculapio 2011
2) A. Fasano, V. de Rienzo e A. Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza 1989
3) Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli 1991.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-L
Il corso ha lo scopo di fornire gli strumenti matematici necessari ad una comprensione approfondita della meccanica. Specularmente, l'utilizzo degli strumenti matematici in un contesto applicativo fornisce un feedback positivo sulla comprensione dei concetti matematici stessi.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-Z
cc1: La conoscenza dei principi matematici e la comprensione del ruolo delle scienze matematiche come strumento di analisi e risoluzione di problemi e modelli alla base dell'ingegneria industriale ed in particolare dell'ingegneria meccanica. La conoscenza dei principi dell’informatica e dell’approccio algoritmico e numerico ai problemi., cc2: La conoscenza delle leggi della fisica (meccanica, elettromagnetismo, termodinamica) e della chimica rilevanti nel campo dell’ingegneria industriale e la comprensione del ruolo di tali leggi nella formulazione di modelli rappresentativi della realtà tangibile.
ca2: La capacità di applicare la propria conoscenza in campo fisico e chimico per risolvere problemi mono-disciplinari della chimica, della chimica applicata, della meccanica, dell’elettromagnetismo e della termodinamica teorica, interpretando ed utilizzando le leggi che li governano nei successivi insegnamenti di applicazione ingegneristica.
ct3: sviluppo di un’espressione e discussione tecnica adeguata di proprie argomentazioni
ct7: rispettare impegni e tempi
Prerequisiti - Cognomi A-L
Analisi matematica (programma del primo anno di ingegneria) e algebra lineare. Meccanica del programma di fisica del primo anno.
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Analisi I e Geometria sono indispensabili per comprendere le lezioni.
Metodi Didattici - Cognomi A-L
Le modalita' didattiche sono tradizionali: lezioni su lavagna in gesso, con eventuale ausilio di proiezioni di slides.
La teoria viene esposta e corredata da esercizi che ne chiariscono l'applicazione.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
La teoria viene esposta e corredata da esercizi che ne chiariscono l'applicazione.
Altre Informazioni - Cognomi A-L
Per ulteriori informazioni:
luigi.barletti[at]unifi.it
La prova finale consiste in una prova scritta, seguita da una prova orale.
N.B. Gli esami di Analisi matematica e Geometria sono sbarranti.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Modalità di verifica dell'apprendimento MOD_VER_APPR 15000 Sì scritto e orale con possibilità di compitini al posto di scritto.
scritto: risoluzione esercizi, orale: verifica della teoria.
Lo studente deve dimostrare capacità di impostare correttamente la soluzione di un problema in modo non algoritmico ma piuttosto mediante la conoscenza della teoria.
Per maggiori informazioni riferirsi alla pagina del corso a
http://www.dma.unifi.it/~minguzzi/DidatticaMain.html Written exam followed by an oral exam. For more information
http://www.dma.unifi.it/~minguzzi/DidatticaMain.html
Programma del corso - Cognomi A-L
1) GEOMETRIA DELLO SPAZIO, VETTORI, SISTEMI DI RIFERIMENTO
Spazio affine e spazio vettoriale. Basi ortonormali e sistemi di riferimento (SdR). Trasformazioni lineari. Cambiamento di SdR e matrici ortogonali. Sistemi di vettori applicati e momento polare. Poligono funicolare.
2) CINEMATICA
Traiettoria, velocità e accelerazione in un dato SdR. Cinematica relativa e vettore velocità angolare. Addizione delle velocità angolari. Campo di velocità e di accelerazione di un moto rigido. Asse istantaneo di rotazione. Rigate del moto rigido. Moti rigidi piani.
3) DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE E GENERALITÀ SUI SISTEMI DINAMICI
Leggi di Newton e SdR inerziali. Struttura matematica della legge di Newton F = ma. Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine (sistemi dinamici). Teorema di Cauchy per un sistema dinamico. Equilibrio di un sistema dinamico e stabilità. Esempi: equazione logistica, modello preda-predatore, oscillatore armonico smorzato. Criterio di stabilità lineare e criterio di stabilità di Lyapunov. Energia cinetica del punto materiale e lavoro di una forza. Teorema delle forze vive per il punto materiale. Forze conservative e conservazione dell'energia meccanica. Caratterizzazione dei campi di forza conservativi. Lemma di Poincaré. Potenziale di una forza centrale. Criterio di Dirichlet per la stabilità dell'equilibrio di un sistema conservativo.
4) DINAMICA DEI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI E DEI CORPI RIGIDI
Energia cinetica, lavoro, energia potenziale, teorema delle forze vive e conservazione dell'energia meccanica per sistemi di punti materiali. Equazioni cardinali della dinamica. Momento angolare ed energia cinetica di un corpo rigido. Geometria delle masse: momenti d'inerzia, polari, assiali e centrifughi. Matrice d'inerzia ed ellissoide d'inerzia. Assi principali d'inerzia. Corpi rigidi in rotazione attorno a un asse fisso. Precessioni. Caratterizzazione geometrica delle precessioni per inerzia. Caratterizzazione delle rotazioni permanenti e della loro stabilità. Cenni alla dinamica dei giroscopi. Cenni ai metodi grafici per la statica del corpo rigido.
5) DINAMICA DEI SISTEMI VINCOLATI
Vincoli ideali olonomi per un sistema di punti materiali. Gradi di libertà, coordinate Lagrangiane e spazio tangente. Principio dei lavori virtuali e sua interpretazione geometrica. Equazione simbolica della dinamica ed equazioni di Lagrange di seconda specie. Funzione Lagrangiana. Struttura quadratica dell'energia cinetica. Formulazione Hamiltoniana delle equazioni di Lagrange (cenni). Criterio di Dirichlet generalizzato. Approssimazione quadratica della Lagrangiana attorno a un equilibrio stabile ed equazioni di moto linearizzate. Modi normali e frequenza delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio stabile.
Programma del corso - Cognomi M-Z
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE, DEFINIZIONE DI SPAZIO E TEMPO
Analisi dimensionale, teorema di Buckingham, costruzione costanti adimensionali e matrice delle dimensioni. Ragionamenti di scala. Definizione di spazi vettoriale. Span, indipendenza lineare, basi. Dimensione dello spazio vettoriale, isomorfismo con R^n. Cambiamenti di base, regola dell'inversa trasposta. Orientazione di uno spazio vettoriale. Prodotto scalare, definizione di modulo e basi ortonormali orientate positivamente. Matrici speciali ortogonali. Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, definizione di angolo tra due vettori. Prodotto vettoriale, regola del determinante, indipendenza da base, modulo del prodotto vettoriale. Doppio prodotto vettoriale, identità di Jacobi. Prodotto misto e sue simmetrie, volume orientato. Definizione di spazio affine, riferimenti. Definizione di spazio fisico e di tempo.
TEORIA DELLE VITI
Riferimenti in moto relativo. Teorema di Poisson e definizione della velocità angolare. Caso piano. Formula fondamentale dei moti rigidi. Legge del cambio di polo nel calcolo del momento meccanico e nel calcolo del momento angolare. Motivazione della teoria delle viti. Definizione di vite. Risultante della vite e sua unicità. Esempi di vite. L'invarianti scalare e vettoriale. L'asse della vite. Il passo della vite, casi degeneri. Le viti formano uno spazio vettoriale. Composizione dei moti rigidi, additività delle velocità angolari. Prodotto scalare tra viti: l'energia cinetica e la potenza. Sistemi equivalenti di forze, sistemi equilibrati. Teorema di Varignon. Casi con risultante nulla e diversa da zero. Casi particolari in cui l'invariante vettoriale è nullo: vettori complanari, paralleli e concorrenti. Il centro delle forze parallele. Vite di una retta nello spazio. Prodotto scalare tra due rette. Numeri duali e calcolo delle viti, angolo duale.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Angoli di Eulero. Trasformazioni rigide. Trasformazioni lineari speciali ortogonali. Richiami sulle matrici ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione. Relazione tra prodotto vettoriale e matrici antisimmetriche. Rigata fissa, rigata mobile e ricostruzione del moto. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Moto piano e centro istantaneo di moto, base e rulletta. Teorema di Chasles. Determinazione del centro istantaneo conoscendo la velocità di un punto e la velocità angolare. Sistemi rigidi liberi. Equazioni di Eulero e teorema della racchetta da tennis. Descrizione di Poinsot del moto libero con l'ellissoide di inerzia. Sistemi di riferimento in moto relativo: velocità relativa, accelerazione relativa, centripeta e di Coriolis. Velocità e accelerazione di trascinamento.
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Il prodotto vettoriale. Le leggi di Newton. Azione e reazione, forze interne ed esterne. Prima equazione cardinale. Centro di massa e suo comportamento nella combinazione di più corpi. Teorema del moto del centro di massa. Lavoro. Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica in tre versioni: del punto materiale; del sistema di punti con solo le forze esterne applicate al centro di massa; del sistema di punti considerando tutte le forze. Lavoro nullo delle forze interne nei corpi rigidi, forze di attrito. Integrale sul cammino e forze conservative. Gradiente, rotore e divergenza. Teorema del circuito chiuso, di Stokes e della divergenza. Campi irrotazionali, singolarità e gradiente. Conservazione dell'energia meccanica. Energia cinetica e potenziale. Esempi di forze conservative: molla e gravità. Teorema di Koenig dell'energia cinetica. Momento angolare, e seconda equazione cardinare rispetto a un polo mobile. Caso del centro di massa. Equivalenza del momento angolare rispetto al polo del centro di massa e nel riferimento del centro di massa. Teorema di Koenig del momento angolare. Rotolamento con scivolamento e conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto. La condizione di rotolamento puro.
GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Introduzione alla geometria delle masse. La matrice dei momenti d'inerzia e sua interpretazione come applicazione lineare. Lagame tra velocità angolare e momento angolare. L'energia cinetica e la velocità angolare in particolare per i corpi rigidi. Teorema di Huygens-Steiner (o del trasporto) nella formulazione matriciale . Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica. Assi principali di inerzia, momenti principali d'inerzia e diagonalizzazione della matrice d'inerzia (teorema spettrale). Invarianti del tensore d'inerzia. Sistemi piani, proprietà notevole. Costruzione dell'ellissoide di inerzia. Calcolo grafico dei momenti d'inerzia assiali con l'ellisoide d'inerzia. Uso delle simmetrie per la determinazione degli assi principali e della matrice d'inerzia. Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Esercizi con masse negative.
STATICA
Le equazioni cardinali della statica. Il poligono funicolare e significato della sua chiusura. Risoluzione di alcuni problemi con il poligono funicolare. Teorema delle due e delle tre forze. Sistema labile, isostatico e iperstatico. Esempi di vincoli. Sistema a tre cerniere con uno o entrambi gli archi carichi (principio di sovrapposizione). Metodo delle sezioni nelle travature reticolari. Cenno al metodo dei nodi. Principio dei lavori virtuali e suo uso per la determinazione delle forze. Esempi.
IL FORMALISMO LAGRANGIANO.
Lo spazio delle configurazioni e le coordinate generalizzate. I vincoli olonomi e anolonomi. Il principio dei lavori virtuali, e il principio di d'Alembert. Le equazioni di Lagrange, con o senza forze generalizzate non conservative.
PICCOLE OSCILLAZIONI.
Caso unidimensionale. Punti di stazionarietà per il potenziale.Stabilità e instabilità. Matrice delle masse, e approssimazione quadratica del potenziale. Diagonalizzazione simultanea delle due matrici. Pulsazioni proprie dei modi principali. Piccole oscillazioni.