Calcolo differenziale e integrale di funzioni reali di una variabile reale. Serie numeriche. Cenni sulle equazioni differenziali ordinarie lineari.
Informazioni piu' dettagliate si trovano sulla pagina web http://poincare.dma.unifi.it/~stefani/didattica/1213.html
Contenuto del corso - Cognomi O-Z
Linguaggio delle proposizioni. Numeri reali. Funzioni di una variabile.
Successioni numeriche, il concetto di limite. Continuita'.
Derivate, rette tangenti. Il Teorema del valor medio; conseguenze. Problemi di massimo/minimo.
Formula di Taylor e applicazioni.
Integrale secondo Riemann, il Teorema fondamentale del calcolo. Calcolo degli integrali.
Integrali generalizzati. Serie numeriche.
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO). Esempi paradigmatici. EDO lineari del primo e secondo ordine.
Marco Bramanti, Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa,
Analisi matematica 1,
Ed. Zanichelli, Bologna, 2008.
Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli,
Analisi Matematica,
McGraw-Hill, 2^ ed., 2011.
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica,
Note di Analisi Matematica. Funzioni di una variabile.
Pitagora Ed. Bologna, 2005.
Claudio Canuto, Anita Tabacco,
Analisi Matematica I (Teoria ed esercizi con complementi in Rete),
Terza edizione, Springer-Verlag Italia, 2008.
Obiettivi Formativi - Cognomi E-N
Con questo insegnamento ci prefiggiamo vari scopi.
1. Obbiettivi preminenti sul piano culturale e formativo:
-- Mostrare la struttura logica del discorso ed abituare gli studenti al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, quale attitudine fondamentale per un corretta uso di risultati teorici, di modelli e di metodi di calcolo.
-- Far si' che gli studenti acquisiscano una chiara consapevolezza dei significati geometrici, fisici e numerici dei concetti fondamentali dell'analisi matematica.
2. Su un piano piu' strumentale ci prefiggiamo di:
Introdurre gli elementi del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale.
Obiettivi Formativi - Cognomi O-Z
Con questo insegnamento ci prefiggiamo vari scopi.
1. Obbiettivi preminenti sul piano culturale e formativo:
-- Mostrare la struttura logica del discorso ed abituare gli studenti al necessario rigore nella discussione e verifica delle ipotesi, quale attitudine fondamentale per un corretta uso di risultati teorici, di modelli e di metodi di calcolo.
-- Far si' che gli studenti acquisiscano una chiara consapevolezza dei significati geometrici, fisici e numerici dei concetti fondamentali dell'analisi matematica; tale obbiettivo ha un ruolo essenziale ai fini della ricaduta dell'insegnamento in altri ambiti.
2. Su un piano piu' strumentale ci prefiggiamo di:
Introdurre gli elementi del calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale (derivate e rette tangenti, problemi di minimo, integrali e aree, evoluzione temporale dello stato di un sistema). Questi sono di immediato utilizzo nello studio di discipline sia scientifiche -- in particolare, quelle a contenuto fisico -- che tecniche, e inoltre di preparazione al successivo insegnamento di Analisi Matematica II/Probabilita' e Statistica, il cui ruolo e' cruciale nell'acquisizione degli strumenti matematici necessari agli insegnamenti caratterizzanti il corso di studio (di I livello).
Prerequisiti - Cognomi E-N
Programma degli obblighi formativi aggiuntivi
Prerequisiti - Cognomi O-Z
Temi e competenze acquisite nei corsi di Matematica della Scuola Media Superiore.
Metodi Didattici - Cognomi E-N
Lezioni in aula, comprendenti la discussione di alcuni dei problemi/esercizi proposti.
Metodi Didattici - Cognomi O-Z
Lezioni in aula, comprendenti la discussione di problemi/esercizi.
Lo svolgimento regolare e scrupoloso di eventuali "compiti" assegnati -- unita, naturalmente, ad una pratica costante di studio -- e' parte integrante e fondamentale del corso.
Prova scritta e (breve) colloquio orale.
La prova scritta contiene un test a risposta multipla.
Dettagli sulla tipologia di prova scritta si trovano sulla mia pagina web
Ogni appello e' distinto dagli altri: l'incontro con i docenti, che segue la correzione degli elaborati, non puo' essere procrastinato ad appelli successivi.
Gli studenti sono tenuti ad iscriversi alla prova d'esame, rispettando la scadenza che in generale e'
almeno una settimana prima della prova scritta.
Il programma esteso seguente e' indicativo; il programma dettagliato definitivo
si desume dal registro delle lezioni, che si trova sulla pagina web del corso.
(i) Richiami, preliminari, funzioni
Introduzione al corso.
Insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprieta' di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettivita' e suriettivita'; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari.
(ii) Successioni, limiti, continuita'
Limiti e continuita': Limiti di successioni e di funzioni; continuita'. Teoremi sui limiti: unicita' del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi.
(ii)bis. Serie Numeriche -- eventualmente da spostare piu' avanti, dopo gli Integrali impropri
Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie regolari e serie oscillanti.
Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
La serie armonica.
Serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico;
criterio del rapporto e della radice; serie armonica generalizzata.
Serie a termini di segno variabile, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.
(iii) Derivate, sviluppi asintotici
Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuita'. Punti di non derivabilita', punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hopital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessita'. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni.
(iv) Integrali
Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprieta': monotonia, additivita' e linearita' dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza.
(v) EDO
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO): il problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti.
Programma del corso - Cognomi O-Z
Il programma esteso seguente e' indicativo; il programma dettagliato definitivo
si desume dal registro delle lezioni.
Analisi Matematica I
(i) Richiami, preliminari, funzioni
Introduzione al corso.
Insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprieta' di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettivita' e suriettivita'; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari.
(ii) Successioni, limiti, continuita'
Limiti e continuita': Limiti di successioni e di funzioni; continuita'. Teoremi sui limiti: unicita' del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale (rispetto a un dato campione). Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi.
(ii)bis. Serie Numeriche -- eventualmente da spostare piu' avanti, dopo gli Integrali impropri
Somme parziali (o ridotte) n-sime, somma di una serie. Serie regolari e serie oscillanti.
Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie.
La serie armonica.
Serie a termini non negativi; criterio del confronto e del confronto asintotico;
criterio del rapporto e della radice; serie armonica generalizzata.
Serie a termini di segno variabile, criterio di Leibniz. Convergenza assoluta di una serie.
(iii) Derivate, sviluppi asintotici
Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Tabella delle derivate fondamentali.
Derivate e continuita'. Punti di non derivabilita', punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hopital.
Formula di Taylor e sviluppi di McLaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessita'. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni.
(iv) Integrali
Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito.
Integrale di Riemann e sue proprieta': monotonia, additivita' e linearita' dell'integrale; media integrale. Classi di funzioni integrabili.
Teorema fondamentale del calcolo integrale: relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza.
(v) EDO
Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO): il problema di Cauchy.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
*EDO del primo ordine non lineari, EDO a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.