Approssimazione ed interpolazione: dai metodi classici alle B-splines.
Sistemi lineari rettangolari: il problema lineare dei minimi quadrati.
Derivazione numerica: idee di base ed alcune semplici formule.
Formule di quadratura.
MATLAB: utilizzo per la risoluzioni di problemi complessi.
[1] D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli 1988
[2] L. Gori, Calcolo Numerico, Edizioni Kappa, 1999,
[3] M.L. Lo Cascio, Fondamenti di Analisi Numerica, McGraw-Hill, 2008
[4] M.G.Gasparo, R. Morandi, Elementi di Calcolo Numerico:metodi e algoritmi,
McGraw-Hill editore, 2008
Obiettivi Formativi
Il corso si prefigura come corso piu’ avanzato di analisi numerica e si occupa delle definizioni e dello studio di metodi per la risoluzione di problemi matematici mediante l'uso dell'elaboratore elettronico. Scopo del corso è di completare lo studio delle metodologie di base affrontate nel corso di CALCOLO NUMERICO, prendendo in considerazione metodi numerici per il calcolo di problemi piu' complessi che possono nascere nelle applicazioni, impostandone la risoluzione numerica e determinando l'algoritmo più idoneo a trovare la soluzione anche attraverso la scrittura di programmi Matlab
Prerequisiti
Nozioni di base di calcolo numerico e di Matlab (corso di Calcolo Numerico della laurea triennnale)
Metodi Didattici
Lezione frontale ed esercitazioni d matlab
Modalità di verifica apprendimento
esame orale e preparazione di un elaborato Matlab
Programma del corso
Approssimazione ed interpolazione:
- Posizione del problema: classi di funzioni e forma delle possibili approssimanti;
- Il polinomio interpolante nella forma di Lagrange; Espressione dell'errore;
- L'errore nel caso dei nodi uniformi ed il suo comportamento asintotico;
- Stabilita' nelle formule di interpolazione e la costante di Lebesgue;
- I polinomi di Chebyshev; Interpolazione con nodi gli zeri di Chebyshev;
- Il Teorema di Weierstrass ed in polinomi di Berstein;
- Polinomi interpolanti di tipo osculatorio ed interpolazione di Hermite; Espressione dell'errore;
- Le funzioni Splines: definizione, prorieta', base delle potenze troncate;
- Spline interpolanti ed approssimanti; Le spline cubiche interpolanti nei nodi (naturali e complete)
- Le B-spline come base dello spazio delle spline e l'algoritmo di De Boor (con particolare attenzione al caso cubico);
- Il caso parametrico: interpolazione paramatrica con parametrizzazione uniforme e della lunghezza dell'arco;
Sistemi lineari rettangolari: il problema lineare dei minimi quadrati min||Ax-b||_2
- Posizione del problema; Esistenza ed unicita' della soluzione;
- Risoluzione mediante il sistema delle equazioni normali A^TAx=A^Tb;
- Matrici ortogonali e loro proprieta'; le matrici di Hauseholder;
- Fattorizzazione QR di una matrice utilizzando le matrici di Hauseholder;
- Risoluzione del problema lineare dei minimi quadrati utilizzando la fattorizzazione QR;
- La migliore approssimazione ai minimi quadrati trigonometrica ed il caso particolare dell'interpolazione; sviluppo di Fourier: cenni;
Derivazione numerica: idee di base ed alcune semplici formule. Il metodo dei coefficienti indeterminati
Formule di quadratura (FdQ)
- Posizione del problema; caso lineare sui nodi (x_0,...,x_n): formule lineari del tipo somme di nodi per valori della funzione;
- Grado di precisione v per le FdQ; limitazione superiore del grado di precisione (GdP) v<=2n+1
- Caso pesi equilimitati: dimostrazione di convergenze delle FdQ all'integrale e studio della stabilita' della formula;
- Metodo dei coefficienti indeterminati;
- FdQ interpolatorie: generalita' e limite inferiore e superiore del grado di precisione ;
- Formule di Newton-Cotes di tipo aperto; grado di precisione ed esempi;
- Formule di Newton-Cotes di tipo chiso; grado di precisione ed esempi;
- Formule di Newton-Cotes generalizzate; Trapezi e Simpson;
- Valutazione pratica dell'errore e metodo di estrapolazione di Richardson;
- Formule di quadratura adattative;
MATLAB: utilizzo per la risoluzioni di problemi complessi.