Questioni preliminari ed introduttive. Cenni a metodi classici per la soluzione di equazioni differenziali. Il metodo FEM per travi. Modellazione FEM di problemi bi- e tridimensionali. Cenni a materiali anisotropi. Approfondimenti sul metodo FEM. Cenni a problemi non lineari. Questioni di dinamica computazionale. Questioni di modellazione di materiali non resistenti a trazione. Questioni di ottimizzazione strutturale.
R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J. Witt, Concepts and Applications of Finite Element Analysis, fourth ed., New York: Wiley, 2002
K.-J. Bathe, Finite Elements Procedures, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, 1996
O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The finite element method for solid and structural mechanics, Oxford: Elsevier Butterworth Heinemann, 2005
Dispense di alcune lezioni (richiedere al docente)
Obiettivi Formativi
Fornire i primi elementi per la modellazione strutturale per mezzo di un elaboratore elettronico.
Prerequisiti
Esame di Scienza delle Costruzioni
Metodi Didattici
Didattica frontale
Modalità di verifica apprendimento
Esercitazione ed esame orale
Programma del corso
Preliminari
Basi e spazi vettoriali di funzioni. Operatori, operatori lineari. Prodotto scalare, norma, distanza fra funzioni. Funzioni integrabili alla Lebesgue. Spazi di Hilbert e di Sobolev. Criterio di Cauchy. Approssimazione di funzioni. Funzioni ortogonali: funzioni armoniche, polinomi di Legendre e di Chebichev. Interpolazione, Derivazione (veloce) ed integrazione numeriche; formule dei trapezi, di Simpson e di Gauss. Integrazione su domini rettangolari, parallelepipedi, triangolari e tetraedrici.
Cenni a metodi classici per la soluzione di equazioni differenziali
Differenze finite: costruzione del sistema lineare risolvente e stima dell'errore commesso. Cenni al metodo in due dimensioni. Richiami su due equazioni differenziali: linea elastica a sforzo assiale e momento flettente (trave rigida a taglio) e soluzione con le differenze finite
Metodi dei minimi quadrati e di Galerkin. Metodo energetico e approccio variazionale: il concetto di funzionale. Determinazione della linea elastica di una trave inflessa con i minimi quadrati e Galerkin. La definizione dell'energia totale e il principio di minimo dell'energia totale per una trave inflessa rigida a taglio
Equivalenza fra la stazionarietà dell'energia totale e il PLV. L'equazione di Eulero associata ad un funzionale. Derivazione dell'equazione di Eulero per la trave inflessa. L'equazione di Poisson ed il funzionale associato; minimizzazione del funzionale.
Il metodo di Ritz. Impostazione del metodo agli elementi finti: nodi, elementi, funzioni di forma, matrice di rigidezza dell'elemento e globale, matrice topologica, vettore dei carichi nodali dell'elemento e globale. Soluzione alla Ritz per la trave inflessa con funzioni armoniche e polinomi; discussione dei risultati e in particolare delle sollecitazioni.
Il metodo FEM per travi
Il metodo FEM per la linea elastica a sforzo assiale. Il metodo FEM per la trave inflessa: nodi, elementi, funzioni di forma, matrice di rigidezza dell'elemento e globale, matrice topologica, vettore dei carichi nodali dell'elemento e globale. Soluzione FEM di una trave inflessa da un carico trasversale.
Il PLV per una trave nello spazio. Il modello FEM per la trave generica rigida a taglio: gradi di libertà, funzioni di forma, matrice di rigidezza dell'elemento e globale, matrice topologica, vettore dei carichi nodali dell'elemento e globale. Impostazione del modello FEM di un sistema di travi.
Modellazione FEM di problemi bi- e tridimensionali
Il problema elastico lineare in generale. Il calcolo del lavoro interno e dell'energia di deformazione. La stazionarietà dell'energia totale; relazione con il PLV.
Introduzione allo studio di problemi alle derivate parziali. Lo studio della torsione mediante la funzione di ingobbamento. Soluzione FEM con elementi CST
Il problema piano generalizzato di tensione: impostazione e soluzione teorica del problema: equazione di Beltrami - Michell; funzione di Airy.
Il problema piano generalizzato di tensione: impostazione della soluzione numerica: definizione del funzionale; definizione dei gradi di libertà; costruzione del campo di spostamenti (funzioni di forma); costruzione del campo di deformazioni e di tensioni; applicazione del PLV e soluzione.
La lastra inflessa – modello alla Kirchoff-Love: impostazione e soluzione teorica del problema. Impostazione della soluzione numerica: definizione del funzionale; definizione dei gradi di libertà; costruzione del campo di spostamenti (funzioni di forma); costruzione del campo di deformazioni e di tensioni; applicazione del PLV e soluzione. Cenni al modello di Reissner-Mindlin. Costruzione dell'elemento guscio piano.
Cenni a materiali anisotropi
Introduzione ai materiali anisotropi. Materiali monoclini ed ortotropi. SdR materiale, principale di tensione e principale di deformazione. Lastre ortotrope. Lastra ortotropa sollecitata secondo il SdR materiale e secondo un SdR genericamente orientato.
Approfondimenti sul metodo FEM
Interpolazione C0 e C1 per problemi mono- e bi-dimensionali. Elementi CST, LST, Q4, Q8 e Q9. Studio del fenomeno di shear locking.
Elementi lagrangiani MxN; elementi Q6 ; elementi tetraedrici e parallelepipedi. Selezione delle funzioni di forma, triangolo di Pascal. Interpolazione C1 su elementi membrana. Elementi ottenuti per distorsione: isoparametrici, sub-parametrici e iper-parametrici. Cenni sui gusci curvi. Stress recovery mediante media nodale e funzioni di forma degli elementi.
Sottointegrazione e integrazione numerica della matrice di rigidezza. Stima dell'errore; metodo ZZ. Raffinamento della soluzione: raffinamento h, r, p e misto. Funzionali misti: criterio di Hu-Washizu.
Cenni a problemi non lineari
Elementi di cinematica del continuo. Tensori di allungamento e di deformazione di Cauchy-Green; tensore di deformazione di Green-Almansi. Non linearità geometrica: approccio co-rotazionale. Cenni di stabilità (biforcazione simmetrica stabile). Calcolo del moltiplicatore del carico critico.
Cenni a problemi con punto limite – problemi di snap, metodo della lunghezza d'arco. Non linearità materiale: vari esempi di legami costitutivi: visco-elasticità (creep e rilassamento delle tensioni), materiali non resistenti a trazione (cls e muratura), materiali fragili (vetro) e duttili. Modello EPP e con incrudimento. Incrudimento isotropo e cinematico. Cenni al trattamento del problema elasto-plastico. Curva momento-curvatura per sezioni rettangolari in fase elasto-plastica. Elemento trave (rigido a taglio) in fase elasto-plastica: calcolo della funzione non lineare della matrice di rigidezza tangente.
Questioni di dinamica computazionale
Derivazione dell'equazione di moto di un sistema meccanico. Matrice delle masse consistente e a masse concentrate. Vettori di Ritz e Lanczos. Integrazione al passo: algoritmi alla Newmark in regime lineare e non lineare; matrici tangenti di smorzamento e rigidezza. Cenni a problematiche di stabilità, convergenza, smorzamento numerico e accuratezza.
Questioni di modellazione di materiali non resistenti a trazione; la muratura.