Algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari, sistemi lineari, teoria spettrale.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
Contenuto del corso - Cognomi O-Z
Algebra lineare: vettori, matrici, spazi vettoriali, applicazioni lineari, teoria spettrale.
Geometria analitica del piano e dello spazio.
A. Nannicini "Esercizi svolti di Algebra Lineare" vol. 1 e 2 Pitagora
A. Nannicini, L. Verdi "Note ed esercizi svolti di geometria analitica" Pitagora
M. Abate "Geometria" Mc Graw Hill
P. de Bartolomeis "Algebra Lineare" La Nuova Italia
S. Lang "Algebra lineare" Boringhieri
G. Anichini - G. Conti "Geometria analitica e algebra lineare" Pearson editrice
G. Anichini - G. Conti - R. Paoletti "Algebra lineare e geometria analitica" Eserciziario Pearson editrice
A. Nannicini "Esercizi svolti di algebra lineare" Pitagora editrice Bologna
A. Nannicini - L. Verdi "Note ed esercizi svolti di geometria analitica" Pitagora editrice Bologna
Obiettivi Formativi - Cognomi A-D
Acquisire nozioni di Geometria e di algebra lineare
Obiettivi Formativi - Cognomi E-N
Fornire conoscenze di base di algebra lineare e geometria per l'utilizzazione in campo ingegneristico e più in generale tecnologico e scientifico.
Obiettivi Formativi - Cognomi O-Z
Fornire nozioni matematiche di base di algebra lineare e di geometria vettoriale del piano e dello spazio da utilizzare nello studio delle materie con contenuti scientifici e tecnologici e nelle applicazioni in campo ingegneristico.
Prerequisiti - Cognomi A-D
Nozioni di geometria del piano e capacita' di gestione del calcolo
Prerequisiti - Cognomi E-N
Conoscenze matematiche di base, come previsto dai programmi ministeriali della scuola media superiore.
Prerequisiti - Cognomi O-Z
Conoscenze matematiche di base, come preisto dai programmi ministeriali della scuola media superiore.
Metodi Didattici - Cognomi A-D
Lezioni ed esercitazioni frontali
Metodi Didattici - Cognomi E-N
Lezioni ed esercitazioni in classe come previsto dall'orario ufficiale.
Metodi Didattici - Cognomi O-Z
Lezioni ed esercitazioni in aula, come previsto dall'orario delle lezioni.
Altre Informazioni - Cognomi E-N
Per ulteriori informazioni consultare la pagina web personale all'indirizzo:
http://www.math.unifi.it/users/nannicini
Altre Informazioni - Cognomi O-Z
La didattica è organizzata in lezioni frontali, svolte alternando teoria, esempi ed esercizi sugli argomenti trattati.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-D
Prova scritta ed orale
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi E-N
L'esame consiste in una prova scritta e orale finale. Sono previste due prove scritte intermedie, nei giorni:
29.10.13 ore 14.00 aula 003 CDM
17.12.13 ore 14.00 aula 003 CDM
in caso di esito positivo lo studente sarà esonerato dalla prova scritta finale della sessione invernale 2014.
Calendario degli esami:
Sessione invernale
21.01.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
06.02.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
20.02.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
Sessione estiva
17.06.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
01.07.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
15.07.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
04.09.14 ore 15.00 aula 001 C.D.M
Le date si riferiscono alla prova scritta, la data della prova orale sarà comunicata durante la prova scritta.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi O-Z
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale finale da sostenere in uno degli appelli d'esame che saranno pubblicati secondo il calendario didattico ufficiale. Sono previste altresì due prove scritte intermedie non obbligatorie, una nella prima settimana di novembre e l'altra a dicembre, alla fine del corso; in caso positivo di tali prove lo studente sarà esonerato dalla prova scritta finale nella sessione invernale 2014.
Programma del corso - Cognomi A-D
Concetto di funzione, funzione iniettiva, suriettiva e biettiva. Funzione inversa. Relazioni di equivalenza.
Definizione di vettore applicato e di vettore libero. Somma tra vettori liberi e relative proprieta'.
Prodotto per scalari e relative proprieta'. Caratterizzazione analitica del parallelismo e la complanarita' tra vettori. Proiezione ortogonale su una direzione e su un piano, Componente orientata.
Prodotto scalare e relative proprieta'. Basi. Basi positivamente orientate.
Prodotto vettoriale e relative proprieta'. Prodotto misto di tre vettori: proprieta' e interpretazione geometrica. Sistemi di riferimento e sistemi di coordinate ortonormali e non.
Equazioni parametriche della retta. Posizione reciproca di due rette. Equazioni parametriche del piano. Equazione cartesiana del piano. Rette come intersezione di piani. Posizione reciproca tra piani e tra retta e piano. Problemi metrici: distanza tra punti, tra punto e piano, tra punto e retta e tra rette sghembe.
Studio di sistemi lineari con tre incognite: interpretazione geometrica e riduzione a forma triangolare.
Applicazioni lineari nello spazio dei vettori liberi e nello spazio a tre dimensioni con relative proprieta'.
Costruzione di applicazioni lineari a partire dai corrispondenti di una base.Matrice associata ad un'applicazione lineare. Nucleo di un'applicazione lineare e suo collegamento con l'iniettivita'.
Autovalori ed autovettori: principali proprieta'. Trasf
ormazioni diagonalizzabili. Matrici invertibili.
Calcolo dell'inversa nel caso 3x3.
Programma del corso - Cognomi E-N
Algebra lineare
1. Preliminari
Struttura lineare di K^n: somma, moltiplicazione per scalare, dipendenza e indipendenza lineare, basi. Struttura euclidea standard su R^n e struttura hermitiana standard su C^n: ortogonalità, norma, distanza, angoli. Struttura lineare e struttura metrica standard sullo spazio delle matrici M_n,m(K); prodotto di matrici, matrici speciali. Lo spazio dei vettori liberi: struttura lineare e struttura metrica standard, prodotto vettoriale e proprietà relative.
2. Spazi vettoriali
Definizioni ed esempi fondamentali. Dipendenza e indipendenza lineare, sistemi di generatori e basi. Sottospazi vettoriali. Spazi vettoriali di dimensione finita: esistenza di basi e dimensione. Operazioni con spazi e sottospazi vettoriali: prodotti, somme, somme dirette.
3. Applicazioni lineari
Definizioni ed esempi fondamentali; nucleo ed immagine, teorema della nullità e rango e sue conseguenze. Lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari. Classificazione degli spazi vettoriali di dimensione finita. Rappresentazione matriciale di una applicazione lineare. Composizione, cambiamenti di base.
4. Determinante
Definizione e proprietà fondamentali; formule di calcolo, sviluppo di Laplace. Teorema di Binet. Teorema di Cramer. Inversa di una matrice. Determinante di un endomorfismo.
5. Caratteristica e rango
Caratteristica per righe, per colonne e rango di una matrice. Rango di una applicazione lineare. Calcolo del rango.
6. Sistemi di equazioni lineari
Teorema di Rouché-Capelli. Struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
7. Spazi euclidei e hermitiani
Prodotti scalari definiti positivi: definizioni ed esempi fondamentali, basi ortogonali, spazio ortogonale ad un insieme. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Prodotti hermitiani definiti positivi. Rappresentazione di forme bilineari in spazi euclidei e hermitiani; operatore trasposto, operatore aggiunto e loro proprietà.
8. Autovalori e autovettori
Definizioni ed esempi fondamentali. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione.
9. Teoria spettrale in spazi hermitiani ed euclidei
Il teorema spettrale per gli operatori normali. Il teorema spettrale per gli operatori simmetrici.
Elementi di geometria analitica
Coordinate cartesiane. Equazioni di rette e piani nello spazio. Problemi metrici e angolari. Coniche e quadriche: classificazione e riduzione in forma canonica.
Programma del corso - Cognomi O-Z
1. ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE
1.1 Matrici: generalità sulle matrici e matrici particolari. Matrice trsposta. Operazioni tra matrici e loro proprietà. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. Matrici invertibili e calcolo dell'inversa. Matrici ortogonali. Rango o caratteristica di una matrice.
1.2 Sistemi lineari:
equazioni lineari e sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli. regola di Cramer. Metodo di riduzione di Gauss. Sistemi lineari omogenei. Discussione di sistemi lineari parametrici.
1.3 Spazi vettoriali:
definizioni ed esempi fondamentali. Dipendenza ed indipendenza lineare di vettori; sistemi di generatori e basi. Sottospazi vettoriali. Spazi vettoriali di dimensione finita: esistenza di basi e dimensione. Spazi vettoriali euclidei. Basi ortogonali e basi ortonormali.
1.4 Applicazioni lineari: definizioni ed esempi fondamentali. Nucleo ed immagine. Teorema della nullità e rango e sue conseguenze. applicazioni lineari e matrici. Cambiamenti di base.
1.5 Autovalori e autovettori: definizioni ed esempi fondamentali. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore.
1.6 Diagonalizzazione: teorema spettrale per le matrici simmetriche.
2. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA
2.1 Algebra vettoriale: coordinate cartesiane nel piano e nello spazio. Vettori applicati e vettori liberi. Modulo di un vettore. Operazioni di somma e di prodotto per uno scalare e loro proprietà. Combinazione lineare di vettori. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto: loro proprietà. Vettori paralleli e vettori ortogonali. Angolo tra vettori. Area di un parallelogramma e area di un triangolo. Baricentro di un triangolo. Interpretazione geometrica della lineare dipendenza ed indipendenza dei vettori geometrici. Complanarità di vettori. Basi e dimensioni degli spazi vettoriali R^2 ed R^3. 2.2 Geometria analitica del piano: equazione vettoriale, equazioni parametriche ed equazione cartesiana della retta. Vettore direzione. Parallelismo e ortogonalità tra rette. Fasci di rette. Angolo tra rette. Distanza di un punto da una retta. 2.3 Geometria analitica dello spazio: equazione vettoriale, equazioni parametriche ed equazione cartesiana della retta. Equazioni parametriche ed equazione cartesiana del piano. Relazioni di parallelismo ed ortogonalità tra rette, tra piani e tra retta e piano. Stella di piani e fascio di piani. Rette sghembe. Questioni angolari tra piani, tra rette e tra retta e piano. distanza di un punto da un piano e da una retta. distanza tra rette. 2.4 Coniche e quadriche: classificazione e riduzione in forma canonica.