1. M. Modugno, Introduzione alla Meccanica dei Sistemi Continui. http://www.dma.unifi.it/~modugno/1-didattica/.
2. L. Ascione and A. Grimaldi, Elementi di meccanica dei continui. Liguori Editore, 1989.
3. M. E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, 1981.
4. A. Belleni Morante and D. Canarutto, Elementi di meccanica dei continui. Carocci Editore, 2008.
5. C. Borri, M. Betti, and E. Marino, Lectures on Solid Mechanics. Firenze University Press, 2008.
Obiettivi Formativi - Cognomi A-L
Schematizzazione e analisi di semplici strutture isostatiche e studio del moto di sistemi meccanici ad un grado di libertà.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-Z
Il modulo svolto dal docente Enzo Marino ha l’obiettivo di introdurre gli strumenti essenziali per lo studio cinematico e dinamico dei mezzi continui, bagaglio teorico di base in comune agli insegnamenti successivi di Scienza delle Costruzioni e Meccanica dei Fluidi.
Prerequisiti - Cognomi A-L
Basi di geometria e analisi.
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Nozioni fondamentali di analisi, geometria e fisica I.
Metodi Didattici - Cognomi A-L
Lezioni frontali alla lavagna nelle quali si espongono e dimostrano gli aspetti teorici mediante un consistente ricorso ad esempi applicativi. Lo studente viene guidato nell'apprendimento mediante esercitazioni in classe in cui alla presenza del docente può verificare autonomamente il livello di apprendimento raggiunto.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
Lezioni frontali.
Altre Informazioni - Cognomi A-L
Si invita a partecipare alle esercitazioni nel corso delle quali il docente è a disposizione degli studenti per ripercorrere temi già affrontati in classe.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-L
Esame orale nel corso del quale mediante semplici esercizi si prende spunto per una verifica delle basi teoriche.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Esame scritto e orale.
Programma del corso - Cognomi A-L
TEORIA DEI MOMENTI
Campo dei momenti meccanici. Variazione del momento al variare del centro di riduzione. Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse centrale. Sistemi equivalenti di forze, sistemi equilibrati. Teorema di Varignon. Esempi di riduzione di sistemi di vettori nel piano. L'invariante vettoriale nullo: sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Il centro delle forze parallele. Asse centrale per vettori paralleli.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Campo delle velocità di un corpo rigido: formula fondamentale del corpo rigido. Centro di istantanea rotazione, rigata fissa, rigata mobile e ricostruzione del moto. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Moto piano e centro istantaneo di moto, base e rulletta. Teorema di Chasles. Determinazione del centro istantaneo conoscendo la velocità di un punto e la velocità angolare. Sistemi di riferimento in moto relativo: velocità relativa, accelerazione relativa, centripeta e di Coriolis. Velocità e accelerazione di trascinamento.
GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Introduzione alla geometria delle masse. Centro di massa, definizioni e proprietà. Momenti di primo grado e di secondo grado. Teorema di Huygens-Steiner per i momenti di secondo grado. Sistema di riferimento centrale e principale, ellissoide di inerzia e teoremi sul sistema di riferimento principale. Omografia di inerzia. Esempi e applicazioni.
STATICA
Le equazioni cardinali della statica, applicazioni a strutture isostatiche. Metodi grafici diretti e poligono funicolare, con applicazioni a strutture isostatiche. Travature reticolari, metodi risolutivi (nodi e sezioni). Analisi interna di strutture isostatiche con studio delle caratteristiche di sollecitazione.
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Il prodotto vettoriale. Le leggi di Newton. Azione e reazione, forze interne ed esterne. Prima equazione cardinale. Centro di massa e suo comportamento nella combinazione di più corpi. Teorema del moto del centro di massa. Lavoro. Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica in tre versioni: del punto materiale; del sistema di punti con solo le forze esterne applicate al centro di massa; del sistema di punti considerando tutte le forze. Lavoro nullo delle forze interne nei corpi rigidi, forze di attrito. Integrale sul cammino e forze conservative. Conservazione dell'energia meccanica. Energia cinetica e potenziale. Esempi di forze conservative: molla e gravità. Teorema di Koenig dell'energia cinetica. Momento angolare, e seconda equazione cardinale rispetto a un polo mobile. Caso del centro di massa. Equivalenza del momento angolare rispetto al polo del centro di massa e nel riferimento del centro di massa. Teorema di Koenig del momento angolare. Rotolamento con scivolamento e conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto. La condizione di rotolamento puro.
IL FORMALISMO LAGRANGIANO.
Lo spazio delle configurazioni e le coordinate generalizzate. I vincoli olonomi e anolonomi. Il principio dei lavori virtuali, e il principio di d'Alembert. Le equazioni di Lagrange, con o senza forze generalizzate non conservative.
Programma del corso - Cognomi M-Z
1. Richiami di nozioni elementari studiate nei corsi di geometria ed analisi matematica riguardanti i seguenti argomenti:
- Spazi vettoriali, basi, metrica euclidea;
- Spazi affini;
- Sistemi di coordinate;
- Applicazioni lineari, endomorfismi, forme bilineari, rappresentazione matriciale di un’applicazione lineare;
- Autovettori ed autovalori di un endomorfismo, polinomio caratteristico, teorema spettrale;
- Applicazioni affini;
- Trasformazioni ortogonali;
- Tensori del second’ordine, prodotto tensoriale, tensori ed applicazioni lineari; tensori ed applicazioni bilineari
- Operatori differenziali: gradiente divergenza, rotore, Laplaciano.
2. Cinematica dei mezzi continui
- Gli spazi di base;
- Moto come applicazione e come spostamento. Esempi: moto traslatorio, moto rigido.
- Grandezze di un continuo: descrizione lagrangiana ed euleriana;
- Derivate delle grandezze di un continuo: derivata parziale rispetto al tempo, derivata totale rispetto al tempo, derivata spaziale;
- Velocità e accelerazione in forma lagrangiana e euleriana;
- Operatore Jacobiano del moto (gradiente di deformazione), determinante dell’operatore Jacobiano;
- Decomposizioni dell’operatore Jacobiano del moto; significato fisico della decomposizione;
- Tensore delle deformazioni finite (Cauchy-Green destro);
- Espressione del tensore di deformazione in funziona dello spostamento;
- Tensore delle deformazioni di Green;
- Derivata rispetto al tempo dell’operatore Jacobiano;
- Il tensore della velocità di deformazione e sua decomposizione;
- Il tensore delle deformazioni e rotazioni infinitesime;
- Deformazioni infinitesime elementari: dilatazione lineare, scorrimento; dilatazione volumetrica; equazioni di congruenza;
3. Dinamica
- Densità e massa;
- Derivata rispetto al tempo del determinante dell’operatore Jacobiano;
- Conservazione della massa e equazione di continuità (equivalenza);
- Teorema del trasporto;
- Equazioni di bilancio;
- Forze agenti su un continuo;
- Quantità di moto e momento della quantità di moto;
- Teorema di Cauchy, il tensore degli sforzi di Cauchy;
- Bilancio della quantità di moto e del momento della quantità di moto;
- Equazioni di moto in forma differenziale;
- Principio della potenza virtuale e dei lavori virtuali;
- Stato di tensione: sforzi e direzioni principali;
4. Legami costitutivi (cenni)
Fluidi
- Fluidi di Stokes; Fluidi Newtoniani;
- Fluidi ideali;
- Equazioni di Eulero;
- Teorema di Bernoulli;
Elastici
- Elasticità finita;
- Elasticità lineare;
- Elasticità lineare e isotropa;
- Elastostatica : il problema al contorno in termini di spostamenti, il principio dei lavori virtuali; energia potenziale totale e suo minimo.