1) Teoremi generali sui sistemi di punti materiali
2) Cinematica dei sistemi rigidi
3) Geometria e cinematica delle masse
4) Teoria dei momenti e delle viti
5) Formalismo Lagrangiano e principio dei lavori virtuali
6) Piccole oscillazioni
7) Elementi di Meccanica dei continui
1) Frosali, Minguzzi, Meccanica Razionale per l'Ingegneria, Esculapio 2015
2) A. Fasano, V. de Rienzo e A. Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza 1989
3) Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli 1991.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-Z
Lo studente che abbia seguito con successo il corso saprà derivare le leggi che determinano il moto dei corpi macroscopici a partire dalle equazioni di Newton. Saprà descrivere gli aspetti cinematici del moto dei corpi, saprà risolvere problemi di statica e anche utilizzare i principi di conservazione. Infine saprà anche impostare e risolvere alcuni semplici problemi meccanici, includendo tra questi quelli lagrangiani.
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Analisi I e Geometria sono indispensabili per comprendere le lezioni.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
La teoria viene esposta e corredata da esercizi che ne chiariscono l'applicazione. Un libro di testo basato sul corso e recentemente pubblicato, coadiuva lo studente nello studio.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Esame scritto in cui si chiede allo studente di risolvere alcuni esercizi, a cui segue un esame orale in cui si verifica la comprensione della teoria.
Programma del corso - Cognomi M-Z
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE, DEFINIZIONE DI SPAZIO E TEMPO
Analisi dimensionale, teorema di Buckingham, costruzione costanti adimensionali e matrice delle dimensioni. Ragionamenti di scala. Definizione di spazi vettoriale. Span, indipendenza lineare, basi. Dimensione dello spazio vettoriale, isomorfismo con R^n. Cambiamenti di base, regola dell'inversa trasposta. Orientazione di uno spazio vettoriale. Prodotto scalare, definizione di modulo e basi ortonormali orientate positivamente. Matrici speciali ortogonali. Metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, definizione di angolo tra due vettori. Prodotto vettoriale, regola del determinante, indipendenza da base, modulo del prodotto vettoriale. Doppio prodotto vettoriale, identità di Jacobi. Prodotto misto e sue simmetrie, volume orientato. Definizione di spazio affine, riferimenti. Definizione di spazio fisico e di tempo.
TEORIA DELLE VITI
Riferimenti in moto relativo. Teorema di Poisson e definizione della velocità angolare. Caso piano. Furmula fondamentale dei moti rigidi. Legge del cambio di polo nel calcolo del momento meccanico e nel calcolo del momento angolare. Motivazione della teoria delle viti. Definizione di vite. Risultante della vite e sua unicità. Esempi di vite. L'invarianti scalare e vettoriale. L'asse della vite. Il passo della vite, casi degeneri. Le viti formano uno spazio vettoriale. Composizione dei moti rigidi, additività delle velocità angolari. Prodotto scalare tra viti: l'energia cinetica e la potenza. Sistemi equivalenti di forze, sistemi equilibrati. Teorema di Varignon. Casi con risultante nulla e diversa da zero. Casi particolari in cui l'invariante vettoriale è nullo: vettori complanari, paralleli e concorrenti. Il centro delle forze parallele. Vite di una retta nello spazio. Prodotto scalare tra due rette. Numeri duali e calcolo delle viti, angolo duale.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Angoli di Eulero. Trasformazioni rigide. Trasformazioni lineari speciali ortogonali. Richiami sulle matrici ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione. Relazione tra prodotto vettoriale e matrici antisimmetriche. Rigata fissa, rigata mobile e ricostruzione del moto. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Moto piano e centro istantaneo di moto, base e rulletta. Teorema di Chasles. Determinazione del centro istantaneo conoscendo la velocità di un punto e la velocità angolare. Sistemi rigidi liberi. Equazioni di Eulero e teorema della racchetta da tennis. Descrizione di Poinsot del moto libero con l'ellissoide di inerzia. Sistemi di riferimento in moto relativo: velocità relativa, accelerazione relativa, centripeta e di Coriolis. Velocità e accelerazione di trascinamento.
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Il prodotto vettoriale. Le leggi di Newton. Azione e reazione, forze interne ed esterne. Prima equazione cardinale. Centro di massa e suo comportamento nella combinazione di più corpi. Teorema del moto del centro di massa. Lavoro. Teorema delle forze vive o dell'energia cinetica in tre versioni: del punto materiale; del sistema di punti con solo le forze esterne applicate al centro di massa; del sistema di punti considerando tutte le forze. Lavoro nullo delle forze interne nei corpi rigidi, forze di attrito. Integrale sul cammino e forze conservative. Gradiente, rotore e divergenza. Teorema del circuito chiuso, di Stokes e della divergenza. Campi irrotazionali, singolarità e gradiente. Conservazione dell'energia meccanica. Energia cinetica e potenziale. Esempi di forze conservative: molla e gravità. Teorema di Koenig dell'energia cinetica. Momento angolare, e seconda equazione cardinare rispetto a un polo mobile. Caso del centro di massa. Equivalenza del momento angolare rispetto al polo del centro di massa e nel riferimento del centro di massa. Teorema di Koenig del momento angolare. Rotolamento con scivolamento e conservazione del momento angolare rispetto al punto di contatto. La condizione di rotolamento puro.
GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Introduzione alla geometria delle masse. La matrice dei momenti d'inerzia e sua interpretazione come applicazione lineare. Lagame tra velocità angolare e momento angolare. L'energia cinetica e la velocità angolare in particolare per i corpi rigidi. Teorema di Huygens-Steiner (o del trasporto) nella formulazione matriciale . Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica. Assi principali di inerzia, momenti principali d'inerzia e diagonalizzazione della matrice d'inerzia (teorema spettrale). Invarianti del tensore d'inerzia. Sistemi piani, proprietà notevole. Costruzione dell'ellissoide di inerzia. Calcolo grafico dei momenti d'inerzia assiali con l'ellisoide d'inerzia. Uso delle simmetrie per la determinazione degli assi principali e della matrice d'inerzia. Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Esercizi con masse negative.
STATICA
Le equazioni cardinali della statica. Il poligono funicolare e significato della sua chiusura. Risoluzione di alcuni problemi con il poligono funicolare. Teorema delle due e delle tre forze. Sistema labile, isostatico e iperstatico. Esempi di vincoli. Sistema a tre cerniere con uno o entrambi gli archi carichi (principio di sovrapposizione). Metodo delle sezioni nelle travature reticolari. Cenno al metodo dei nodi. Principio dei lavori virtuali e suo uso per la determinazione delle forze. Esempi.
IL FORMALISMO LAGRANGIANO.
Lo spazio delle configurazioni e le coordinate generalizzate. I vincoli olonomi e anolonomi. Il principio dei lavori virtuali, e il principio di d'Alembert. Le equazioni di Lagrange, con o senza forze generalizzate non conservative.
PICCOLE OSCILLAZIONI.
Caso unidimensionale. Punti di stazionarietà per il potenziale.Stabilità e instabilità. Matrice delle masse, e approssimazione quadratica del potenziale. Diagonalizzazione simultanea delle due matrici. Pulsazioni proprie dei modi principali. Piccole oscillazioni.