Funzioni di più variabili: Continuità, derivate parziali, gradiente, massimi e minimi liberi, moltiplicatori di Lagrange e max e min vincolati, derivate di ordine superiore.
Integrali doppi e tripli: Calcolo dell'integrale per iterazione, integrali su domini non rettangolari, integrali doppi in coordinate polari, integrali tripli in coordinate cilindriche e sferiche.
Funzioni a valori vettoriali: Gradiente, divergenza e rotore. Teoremi di Stokes e della Divergenza.
Contenuto del corso - Cognomi A-L
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile
Contenuto del corso - Cognomi M-Z
Numeri reali e complessi
Funzioni di una variabile
Limiti
Derivate
Formula di Taylor
Integrale di Riemann
Integrali generalizzati
Successioni e serie numeriche
Serie di potenze
Elementi di topologia
Funzioni di più variabili
Derivate parziali e direzionali
Continuità e differenziabilità
Ricerca di estremi liberi e vincolati
Integrali doppi e tripli
Curve parametriche
Integrali curvilinei e di superficie
Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni a variabili separabili e lineari
Testi di riferimento:
Anichini G. - Conti G., Analisi Matematica 1,Pearson Education, 2008.
Anichini G. - Conti G., Analisi Matematica 2,Pearson Education, 2010.
Testi consigliati per esercizi:
Benevieri P., Esercizi di Analisi Matematica, Ed. De Agostini.
Marcellini P. - Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 1, Liguori
Editore.
Marcellini P. - Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 2, Liguori
Editore.
Salsa S. - Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli.
Salsa S. - Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli.
Testi consigliati per consultazione :
Bertsch M. - Dal Passo R. - Giacomelli L., Analisi Matematica, McGraw Hill, Milano 2007.
Giaquinta M. - Modica G., Note di Analisi Matematica. Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna 2005.
Giaquinta M. - Modica G., Note di Analisi Matematica. Funzioni di piu'
variabili, Pitagora Editrice, Bologna 2006.
Materiale didattico inerente al corso e' reperibile all'indirizzo http://www.dma.unifi.it/~pera e viene aggiornato dal docente durante lo svolgimento del corso stesso.
Obiettivi Formativi
Conoscenza dell'uso degli strumenti legati all'uso delle funzioni di più variabile e a valori vettoriali
Obiettivi Formativi - Cognomi A-L
Conoscenze del calcolo per funzioni di una variabile.
Obiettivi Formativi - Cognomi M-Z
Nel primo modulo, si prevede l'acquisizione di nozioni di base e l'approfondimento di concetti del calcolo differenziale e integrale in una dimensione; nel secondo modulo, il loro sviluppo in spazi a piu' dimensioni. Per una migliore comprensione del secondo modulo, e' opportuno che gli studenti abbiano assimilato le nozioni fondamentali del corso di geometria, nonche' i concetti introdotti nel primo modulo.
Obiettivo formativo e' acquisire una buona disposizione all'approccio teorico e al rigore logico-formale migliorando nel contempo la dimestichezza nel calcolo.
Prerequisiti
Gli elementi di Analisi del corso
Prerequisiti - Cognomi A-L
Matematica delle scuole superiori
Prerequisiti - Cognomi M-Z
Nozioni e tecniche fondamentali apprese nei corsi di matematica della scuola media superiore. In particolare: calcolo formale, polinomi, equazioni e disequazioni algebriche, elementi di geometria analitica (il piano cartesiano, le rette, il cerchio, la parabola, ecc.), funzioni trigonometriche.
Metodi Didattici
Didattica frontale. Lezioni ed esercitazioni
Metodi Didattici - Cognomi A-L
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Metodi Didattici - Cognomi M-Z
Il corso e' annuale e prevede 6 CFU (Analisi Matematica 1) e 6 CFU (Analisi Matematica 2) di didattica frontale costituita da lezioni di teoria e da esecizi svolti dal docente.
Altre Informazioni - Cognomi M-Z
Per informazioni piu' dettagliate sul corso consultare l'indirizzo: http://www.dma.unifi.it/~pera
Modalità di verifica apprendimento
Compito scritto e verifica dei risultati all'orale
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi A-L
Prova scritta ed orale finale.
Modalità di verifica apprendimento - Cognomi M-Z
Il corso e' integrato e consta di due moduli: Analisi Matematica 1 e Analisi Matematica 2. L'esame verte sul contenuto dei due moduli. Consiste in una prova scritta e in una successiva prova orale alla quale viene ammesso lo studente che abbia ottenuto almeno 14/30 nella prova scritta.
Per le date degli appelli d'esame e per le modalita' di iscrizione agli appelli stessi e di svolgimento dell'esame consultare:
http://www.dma.unifi.it/~pera
Programma del corso
Funzioni di Più Variabili
Coordinate Cartesiane in Tre Dimensioni
Equazioni e Loro Grafici
Equazioni Lineari
Sfera
Cilindro
Orientazione
Funzioni di Più Variabili
Derivate Parziali
Derivate in Più Variabili
Derivate Parziali e Mappe di Contorno
Derivate Parziali ed Approssimazioni Lineari
Ottimizzazione
Integrali Multipli
Integrali Doppi
L’integrale come Limite
Calcolo degli Integrali per Iterazione
Integrali su Regioni Non-Rettangolari
Integrali Doppi in Coordinate Polari .
Integrali Tripli. Coordinate Cilindriche e Sferiche
Coordinate Cilindriche
Coordinate Sferiche
Derivate
Punti Stazionari, Massimi e Minimi
Gradiente ed Approssimazione Lineare
Approssimazione Lineare e Funzioni Differenziabili
Derivazione di Funzioni Composte
Derivate di Ordine Superiore
Massimi e Minimi
Moltiplicatori di Lagrange
Gradienti e Condizioni di Lagrange
Integrazione
Cambio di Variabili negli Integrali Multipli
Coordinate Sferiche e Cilindriche
Cambiamento di Variabile negli Integrali Multipli
Integrali Curvilinei
Campi Vettoriali
Curve Orientate
Calcolo degli Integrali Curvilinei
Il Teorema di Green
Il Teorema di Green in Regioni con i Buchi
Superfici ed Integrazione
Curve, Superfici
Parametrizzazione di una Superficie. Esempi.
Integrali di Superficie
Definizione di Integrale Superficiale
Derivate ed Integrali di Campi Vettoriali
Integrali di Flusso
Divergenza e Rotore: Derivate di un Campo Vettoriale
Teoremi di Stokes e della Divergenza
Programma del corso - Cognomi A-L
L'insieme dei numeri reali.
Insiemi; operazioni tra insiemi. Numeri reali; operazioni e relazione d'ordine. Numeri razionali, interi, naturali. Estremi di un insieme; massimi e minimi. Postulato di Dedekind. Principio di induzione. Formula del binomio di Newton. Coefficienti binomiali. Topologia della retta: intorno di un punto, punti di accumulazione, isolati, interni, di frontiera, esterni; insiemi chiusi, aperti. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Valore assoluto; proprietà.
Le funzioni.
Concetto di funzione. Funzioni reali di una variabile reale. Dominio, codominio, immagine. Grafico di una funzione. Grafici di funzioni elementari. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzioni inverse, composte, limitate, crescenti, decrescenti, periodiche, pari e dispari. Massimi e minimi relativi e assoluti.
Limiti e continuità delle funzioni reali.
Definizione di limite finito ed infinito in un punto ed all'infinito. Unicità del limite. Estensione della nozione di limite. Limite destro e sinistro. Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite. Teorema della permanenza del segno. Operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Teorema dei due carabinieri. Limite di funzione composta. Il limite notevole. Alcuni limiti notevoli. Continuità. Continuità delle funzioni elementari. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità di funzione inversa. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass. Funzioni discontinue. Vari tipi di discontinuita`.
Derivate.
Derivata di una funzione in un punto. Significato geometrico e fisico. Condizione necessaria per la derivabilità. Derivata destra e sinistra. Differenziale di una funzione in un punto. Significato geometrico. Derivate di funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
Applicazioni del calcolo differenziale.
Teorema di Fermat. Teorema di Rolle. Controesempi. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Teorema di Cauchy. Ricerca massimi e minimi relativi.
Infiniti. Infinitesimi e loro ordine. Principio di sostituzione. Teoremi di De l'Hospital. Formula di Taylor e di Mac-Laurin. Proprietà del resto. Resto nella forma di Lagrange. Formula di Mac-Laurin di funzioni elementari. . Punti di massimo e minimo relativo, punti di flesso con derivate successive. Limiti con la formula di Taylor. Valore approssimato di una funzione.
Studio della variazione di una funzione.
Ricerca di massimi e minimi relativi; concavità, convessità e flessi con la formula di Taylor. Asintoti.
Successioni. Proprietà e calcolo dei limiti. Limiti di successioni monotone. Teorema del confronto. Successioni definite per ricorrenza.
Primitive. Integrali indefiniti. Formula di integrazione per parti per gli integrali indefiniti.
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti.
Integrazione delle funzioni elementari o dedotte da funzioni elementari.
Integrazione delle funzioni razionali. Alcuni metodi di integrazione.
Definizione di integrale definito. Insiemi trascurabili e condizione necessaria e
sufficiente per l'integrabilita'. Proprieta' degli integrali definiti (linearita',
monotonia, additivita'). Formula di integrazione per parti per gli integrali definiti.
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Teorema della media per
gli integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione del logaritmo tramite l'integrale. Applicazione
dell'integrale definito al calcolo di aree di figure piane e al calcolo di volumi di
solidi di rotazione. Integrali impropri. Criteri di convergenza (confronto, confronto
asintotico, convergenza assoluta).
Programma del corso - Cognomi M-Z
Il programma dettagliato del corso e il registro delle lezioni sono reperibili all'indirizzo
http://www.dma.unifi.it/~pera
Numeri
Insiemi (unione, intersezione, differenza, insieme vuoto,
complementare). Numeri naturali, relativi, razionali. I numeri reali:
assiomi algebrici, ordinamento. Quantificatori logici.
Disuguaglianze. Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi.
Intervalli. Massimo, minimo, maggioranti, minoranti, estremo inferiore e
superiore di un insieme. Proprieta' di completezza dei reali. Proprieta' di
Archimede. Densita' dei razionali. Applicazioni tra insiemi, applicazioni
iniettive, suriettive, biiettive. Dominio, codominio, immagine e grafico
di una applicazione.
Funzioni reali di una variabile (limiti e continuita')
Funzioni reali di variabile reale. Funzioni limitate. Funzioni monotone.
Funzioni inverse. Polinomi e funzioni razionali. Principali
funzioni trascendenti (funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche
e loro inverse, funzioni iperboliche). La funzione parte intera. Elementi di
topologia della retta reale: intorni di un punto, punti di accumulazione, punti isolati.
Massimi e minimi assoluti e relativi. Limiti delle funzioni (finiti e
infiniti). Teorema di unicita' del limite. Teorema della permanenza del segno.
Teorema dei carabinieri. Teorema sulle operazioni per il calcolo dei limiti. Forme
indeterminate. Limite destro e sinistro. Limite di funzione composta.
Cambiamento di variabile nei limiti. Teorema di
esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti fondamentali e conseguenze. Continuita'. Teorema di continuita' delle funzioni
combinate (somma, prodotto, quoziente e composizione). Classificazione delle
discontinuita'. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi e
applicazioni. Teorema
di continuita' di una funzione inversa. Teorema di
Weierstrass.
Funzioni reali di una variabile (derivate)
Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi. Interpretazione
geometrica della derivata. Differenziale. Regole di derivazione (somma, prodotto, quoziente,
composizione e funzione inversa). Derivate delle principali funzioni. Teorema di Fermat.
Teoremi di Rolle e Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange. Teoremi di de L'Hopital. Derivate di ordine superiore. Asintoti di una
funzione. Funzioni convesse in un intervallo. Condizioni sufficienti per l'esistenza di
massimi e minimi relativi. Punti di flesso. Studi di funzione.
Infinitesimi e infiniti.
Il simbolo o-piccolo. Formula di Taylor col resto nella forma di Peano. Formula di
Taylor col resto nella forma di Lagrange. Formula di MacLaurin. Applicazioni della formula
di Taylor al calcolo dei limiti e ad alcuni problemi di approssimazione.
Integrali semplici
Primitive. Integrali indefiniti. Formula di integrazione per parti per gli integrali indefiniti.
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti.
Integrazione delle funzioni elementari o dedotte da funzioni elementari.
Integrazione delle funzioni razionali. Alcuni metodi di integrazione.
Definizione di integrale definito. Insiemi trascurabili e condizione necessaria e
sufficiente per l'integrabilita'. Proprieta' degli integrali definiti (linearita',
monotonia, additivita'). Formula di integrazione per parti per gli integrali definiti.
Formula di integrazione per sostituzione per gli integrali definiti. Teorema della media per
gli integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo integrale. Definizione del logaritmo tramite l'integrale. Applicazione
dell'integrale definito al calcolo di aree di figure piane e al calcolo di volumi di
solidi di rotazione. Integrali impropri. Criteri di convergenza (confronto, confronto
asintotico, convergenza assoluta). La funzione degli errori.