Algoritmi. Aritmetica di precisione finita. Condizionamento di un problema e stabilita' di un algoritmo.
Metodi diretti per sistemi lineari algebrici.
Metodi iterativi ed algoritmi per il calcolo degli zeri di una funzione scalare.
Interpolazione polinomiale. Interpolazione mediante funzioni splines. Migliore approssimazione ai minimi quadrati.
M.G. Gasparo, R. Morandi, Elementi di Calcolo Numerico: metodi ed algoritmi, McGraw-Hill, 2008
Obiettivi Formativi
Conoscenza di alcuni metodi numerici per risolvere sistemi lineari algebrici, equazioni non lineari, approssimare dati e funzioni. Capacità di formulare algoritmi per la soluzione di problemi anche su di un elaboratore. Apprendimento del linguaggio Matlab.
Prerequisiti
Nozioni di algebra lineare, nozioni di analisi I
Metodi Didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni Matlab in laboratorio
Modalità di verifica apprendimento
compito scritto volto a verificare la capacita'di risolvere un semplice problema dell' analisi numerica di base. Discussione orale dello stesso
Programma del corso
ARITMETICA FINITA
-Rappresentazione dei numeri interi e reali in memoria
-Overflow, underflow, definizione della precisione di macchina
-Errori di arrotondamento e loro propagazione attraverso le operazioni elementari.
-condizionamento delle operazioni elementari
CONDIZIONAMENTO DIUN PROBLEMA
-definizione e d analisi delle problematiche connesse
SISTEMI LINEARI
-Norme vettoriali e matriciali
-Condizionamento
-Metodi diretti per la soluzione di sistemi lineari: casi triangolari: algoritmo di sostituzione in avanti ed in dietro. Il metodo di Gauss, stabilita' e strategie di pivoting (pivoting parziale e totale). Algoritmo del metodo di Gauss
-Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari: approccio basato sullo splitting di una matrice. Dimostrazione di convergenza. Csi particolari: metodo di Jacobi e di Gauss Seidel sia in forma matriciale che esplicita. Condizioni sufficienti per la convergenza
EQUAZIONI NON LINEARI
-Generalita’ sui metodi iterativi per equazioni non lineari.
-Il metodo di bisezione ed il metodo di Newton
-Il metodo delle secanti come variante del metodo di Newton.
-Algoritmi e criteri di arresto
-Convergenza di un metodi iterativo: definizione dell’ordine di convergenza.
-Condizioni sufficienti per la convergenza del metodo di Newton: estremo di Fourier definizione ed utilizzo
-Ordine di convergenza del metodo di Newton
INTERPOLAZIONE E APPROSSIMAZIONE
-La migliore approssimazione ai minimi quadrati: caso lineare e di grado m
-Il problema dell'interpolazione polinomiale: esistenza ed unicita’ via la matrice di Vandermonde
-Le basi di Lagrange e le loro priprieta’ Il polinomio interpolante nella forma di di Lagrange. Vantaggi e svantaggi.
-Le differenze divise: definizioni, proprieta’, tabella per la loro costruzione
-Il polinomio interpolante nella forma di Newton. Vantaggi e svantaggi. Aggiunta di un punto.
-Errore nelle formule di interpolazione: formulazione attraverso la derivata o le differenze divise .
Analisi dell’errore e sue conseguenze.
-Le funzini splines. Definizione e primi esempi.
MATLAB
-Regole generali di utilizzo: assegnazione delle variabili; operazioni elementari per scalari vettori e matrici
-Programmare con Matlab: operatori relazionali, operatori logici e funzioni; istruzioni condizionali; cicli; funzioni matematiche di base.
-La grafica in due e tre dimensioni.
-Utlizzo di Matlab per la risoluzione dei problemi di calcolo numerico relativi ai punti precedenti;