B003242 - METODI MATEMATICI E PROBABILISTICI

Italiano

EDO del I e II ordine. EDO di ordine n. Esistenza ed unicità per il PVI. Analisi qualitativa e stabilità. Spazi di funzioni. Serie di funzioni e serie di Fourier. Spazi di probabilità. Variabili aleatorie discrete e continue mono e pluridimensionali.

1) G.Borgioli: Lecture Notes, on the webpage http://www.modmat.unifi.it
2) G. Borgioli - Modelli Matematici di Evoluzione ed Equazioni Differenziali - CELID, Torino (1996).
3) M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa - Matematica – Zanichelli
4) G. Modica, L. Poggiolini - Note di Calcolo delle Probabilità - Pitagora
5) R. Giuliano, L. Ladelli, P. Baldi, Laboratorio di statistica e probabilità, McGraw-Hill.
6) G.C.Barozzi - Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione - Zanichelli
7) M.Marini - Metodi Matematici per lo studio delle Reti Elettriche - CEDAM
8) W. E. Boyce, R. C. DiPrima - Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,John Wiley & Sons, Inc.
9) W. Navidi, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, McGraw-Hill.
10) F. Mugelli, M. Spadini - Metodi Matematici - Esculapio.
11) Sheldon M. Ross, "Calcolo delle probabiltà", Apogeo, Milano
12) Paolo Baldi, "Calcolo delle probabiltà", McGraw-Hill, Milano
13) D. Bertacchi, M. Bramanti, G. Guerra, " Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica", Progetto Leonardo, Esculapio, Bologna.

Sulla pagina web dedicata al corso, reperibile all'indirizzo: http://www.modmat.unifi.it sono disponibili:
- Appunti ed esercizi su specifici argomenti, nel caso in cui tali argomenti non siano presenti o differiscano in modo sostanziale dal materiale presente sui testi adottati.
- Il registro delle lezioni, aggiornato settimanalmente.
- Compiti assegnati a precedenti prove d'esame

Fornire nozioni e capacità di base nel trattamento delle Equazioni Differenziali Ordinarie e dell'Analisi di Fourier. Introdurre le nozioni di base della teoria della probabilità e fornire le competenze teoriche ed applicate per lo studio dell’incertezza.
Lo studente conosce le tecniche fondamentali per la risoluzione di Equazioni Differenziali Ordinarie del I e II ordine (lineari). E' a conoscenza dei fondamenti dell'analisi qualitativa e delle basi dell'analisi di Fourier. È in grado di risolvere problemi di calcolo delle probabilità, e conosce le principali distribuzioni di probabilità per variabili aleatorie discrete e continue, sia mono che pluri-dimensionali.

Programma del corso di Analisi Matematica.

Lezioni ed Esercitazioni in aula

Prova scritta consistente nella risoluzione di esercizi e prova orale.

Per sostenere la prova scritta è richiesta l'iscrizione all'esame sul sito http://sol.unifi.it/prenot/prenot

1 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO)
1.1 - Definizioni e terminologia; la forma normale; l'equazione del primo ordine y'(x)=f(x,y(x)) per funzioni y(x) definite su R ed a valori in Rn come forma generale rappresentativa di EDO di ordine n e di sistemi di n EDO del primo ordine; il problema di Cauchy o ai valori iniziali (PVI); il teorema di esistenza ed unicità (TEU) per il PVI: caso di equazioni del primo ordine per funzioni scalari (da R in R) e caso generale (senza dimostrazione); conseguenze del TEU per i sistemi lineari.
1.2 - EDO del I ordine: metodi risolutivi per le equazioni scalari del I ordine: a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni lineari complete, equazioni del tipo di Bernoulli, equazioni esatte e fattori integranti.
1.3 - EDO del II ordine: metodi risolutivi per le equazioni riconducibili ad equazioni del I ordine; equazioni integrabili per quadrature; equazioni lineari a coefficienti costanti, caso omogeneo e non omogeneo: il metodo dei coefficienti indeterminati ed il metodo di variazione delle "costanti".
1.4 - Equazioni lineari in forma generale: ricerca delle soluzioni generali. Spazi lineari di funzioni: lo spazio generato dalle soluzioni di EDO lineari omogenee.
1.5 - Interpretazione geometrica ed analisi qualitativa per le EDO del II ordine e per i sistemi del I ordine di dimensione 2: il piano delle fasi.
1.6 - Stabilità delle soluzioni rispetto alle condizioni iniziali: definizione di stabilità secondo Liapunov: stabilità delle soluzioni di equilibrio e stabilità delle soluzioni evolutive; stabilità asintotica; proprietà di stabilità per equazioni e sistemi lineari; analisi dettagliata dei sistemi a dimensione 2: definizione di centro, punto sella; fuoco (spirale); nodo; caso di equazioni e sistemi non lineari: criterio di stabilità in prima approssimazione; II Criterio di Liapunov per la stabilità, per la stabilità asintotica e per l'instabilità. Analisi qualitativa con il metodo dell'energia.
1.7 - Modelli meccanici ed in teoria dei circuiti che vengono formulati come EDO: l'oscillatore armonico, l'oscillatore armonico smorzato e forzato e la risonanza lineare, il pendolo non lineare. Modelli in dinamica delle popolazioni: il modello malthusiano, il modello logistico, il modello preda-predatore.
1.8 - Medoto risolutivo della trasformata di Laplace (elementi introduttivi).

2 - SERIE DI FOURIER (SF)
2.1 - Spazi di funzioni dotati di prodotto interno (spazi unitari). Norma di una funzione.
Disuguaglianza di Schwartz, disuguaglianza di Minkowski (triangolare), disuguaglianza di Bessel.
Spazio delle funzioni continue a tratti su un intervallo. Polinomi trigonometrici e polinomi di Fourier; base ortonormale approssimante reale e complessa.
2.2 - Successioni di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme; serie numeriche, serie di funzioni, serie di potenze, raggio di convergenza, criterio di Abel.
2.3 - Serie di Fourier reale e complessa, calcolo dei coefficienti; SF di funzioni periodiche e di funzioni definite su un intervallo qualunque; convergenza in norma (media quadratica); l'uguaglianza di Parseval; le condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale della SF; convergenza della serie derivata e della serie integrale; funzioni pari e dispari e loro SF; fenomeno di Gibbs e convergenza uniforme della SF.
2.4 Introduzione alle equazioni differenziali a derivate parziali; le equazioni della Fisica Matematica: diffusione , onde e Laplace(unidimensionali) e risoluzione di problemi al contorno ed ai valori iniziali. Cenni alle equazioni di Maxwell.

3 PROBABILITÀ
3.1 Esperimenti casuali, eventi e spazio dei risultati , Elementi di calcolo combinatorio , definizioni di probabilità , probabilità condizionata, eventi indipendenti, Teorema di Bayes
3.2 . Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità: variabili aleatorie discrete e continue, distribuzioni di probabilità, speranza matematica, probabilità puntiforme e densità di probabilità, densità congiunta, parametri di una distribuzione: valor medio e varianza. Funzione densità di probabilità di variabile aleatoria, funzioni di variabile aleatoria.
3.3 Distribuzioni di Probabilità discrete: distribuzione di Bernoulli e binomiale, distribuzione di Poisson, approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson .
3.4 Distribuzioni di Probabilità continue: distribuzione normale o di Gauss, distribuzione normale standardizzata . Alcune applicazioni della distribuzione normale , uso delle tavole della distribuzione normale. Distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale, relazione tra la distribuzione binomiale e la distribuzione normale, relazione tra la distribuzione normale e la distribuzione di Poisson .-