Analisi Matematica II (Programma sintetico): Calcolo differenziale e integrale in più variabili, ovvero: Lo spazio euclideo n-dimensionale. Curve, integrali curvilinei. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili, a valori reali; ottimizzazione libera e vincolata. Funzioni di più variabili a valori vettoriali; superfici in forma parametrica. Calcolo integrale per funzioni di più variabili. Campi vettoriali ed integrali di linea relativi. Integrali di superficie.
Testo consigliato: Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Ed. Zanichelli Bologna.
Testi consigliati per gli esercizi.
Esercitazioni di Matematica, secondo volume (parti prima e seconda), Ed. Liguori.
Boris P. Demidovic Esercizi e Problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 2010.
Nota: I temi affrontati nel corso sono standard, e percio' trattati in tutti i testi con titolo (italiano) "Analisi Matematica II".
Altri testi consigliati:
Carlo Domenico Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 2, seconda edizione, Zanichelli.
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori Ed.
Enrico Giusti, Analisi Matematica 2, Bollati Boringhieri, 3^ edizione interamente riveduta ed ampliata 2003.
Mariano Giaquinta, Giuseppe Modica, Note di analisi matematica. Funzioni di piu' variabili, Pitagora Ed., 2006.
Obiettivi Formativi
CONOSCENZA E COMPRENSIONE
Nozione di funzione definita sullo spazio euclideo n-dimensionale, a valori reali o vettoriali; limiti, continuità
Nozione di curva regolare; lunghezza di una curva; integrali curvilinei
Derivate e gradiente per funzioni di più variabili
Massimi minimi relativi, assoluti e vincoli per funzioni di più variabili
Calcolo integrale per funzioni di più variabili
Superfici in forma parametrica; area di una superficie; integrali di superficie
CAPACITA' DI APPLICARE CONOSCENZE E COMPRENSIONE
Calcolo delle derivate parziali di ordine arbitrario per funzioni di più variabili
Calcolo della lunghezza di una curva assegnata e di integrali curvilinei
Determinare i massimi e i minimi relativi, assoluti e vincolati di una funzione assegnata di più variabili
Calcolo di intergali per funzioni di due o più variabili.
Calcolo dell'area di una superficie e di integrali superficiali
Prerequisiti
Calcolo Differenziale e Integrale per funzioni reali di una variabile.
Metodi Didattici
Lezioni frontali.
Altre Informazioni
Il docente farà un uso consistente della piattaforma Moodle, e tutti gli studenti saranno invitati a iscriversi alla pagina Moodle del corso. Su questa pagina verranno messi nell'arco del corso files contenenti esercizi che verranno successivamente risolti e spiegati in classe.
Modalità di verifica apprendimento
L'esame consiste di due prove. Una prova pratica, scritta, in cui lo studente deve risolvere alcuni esercizi sugli argomenti del corso. Tipologie di esercizi sono: studio dei massimi e minimi per funzioni di più variabili. Calcolo di integrali di vario tipo: di linea, di superficie, integrali multipli.
La seconda prova è di carattere teorico, e prevede che lo studente presenti definizioni, oppure enunciati di risultati visti nel corso, eventualmente con relative dimostrazioni. Tale prova potrà essere scritta o orale
Programma del corso
Lo spazio euclideo n-dimensionale. Norma, prodotto scalare, disuguaglianza di Cauchy-Schwartz.
Curve nel piano e nello spazio. Curve regolari, curve equivalenti. Curve rettificabili; lunghezza di una curva. Integrali curvilinei di prima e di seconda specie.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili, a valori reali. Le nozioni di limite e di continuità per funzioni di più variabili. Derivate parziali prime, differenziabilità e gradiente. Derivate seconde; matrice hessiana. Estremi liberi per funzioni di più variabili: condizioni necessarie e sufficienti riguardanti il gradiente e la matrice hessiana. Estremi vincolati: nozione di vincolo regolare; il teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili - integrazione secondo Riemann. Integrali doppi su rettangoli; misura di Peano-Jordan per sottoinsiemi del piano; integrali doppi su domini normali. Proprietà dell'integrale. Formule di riduzione. Formula del cambio di variabili. Integrali multipli.
Superfici in forma parametrica. Nozione di superficie regolare nello spazio euclideo tridimensionale; coordinate locali. Piano tangente, vettore normale. Area di una superficie; integrali di superficie.