EDO del I e II ordine. EDO di ordine n e sistemi. Esistenza ed unicità per il PVI. Analisi qualitativa e stabilità. Spazi di funzioni. Serie di funzioni e serie di Fourier. Trasformata di Fourier, formula di Plancherel. Cenno alla teoria delle distribuzioni. Cenno alla trasformata di Laplace. Spazi di probabilità. Variabili aleatorie discrete e continue mono e pluridimensionali.
Probabilità:
1) P. Baldi. Calcolo delle probabilità e statistica. McGraw-Hill
2) G. Modica, L. Poggiolini - Note di Calcolo delle Probabilità - Pitagora
Equazioni differenziali e stabilità
1) A. Ambrosetti. Appunti sulle equazioni differenziali ordinarie. Springer (Unitext n. 56).
2) Note del docente (su Moodle).
3) Altri appunti su Moodle
1) G. Borgioli - Modelli Matematici di Evoluzione ed Equazioni Differenziali - CELID, Torino (1996).
2) R. Giuliano, L. Ladelli, P. Baldi, Laboratorio di statistica e probabilità, McGraw-Hill.
3) M.Marini - Metodi Matematici per lo studio delle Reti Elettriche - CEDAM
4) W. E. Boyce, R. C. DiPrima - Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems,John Wiley & Sons, Inc.
5) W. Navidi, Probabilità e statistica per l'ingegneria e le scienze, McGraw-Hill.
6) F. Mugelli, M. Spadini - Metodi Matematici - Esculapio.
7) Sheldon M. Ross, "Calcolo delle probabiltà", Apogeo, Milano
8) D. Bertacchi, M. Bramanti, G. Guerra, " Esercizi di Calcolo delle Probabilità e Statistica", Progetto Leonardo, Esculapio, Bologna.
Obiettivi Formativi
Fornire nozioni e capacità di base nel trattamento delle Equazioni Differenziali Ordinarie e dell'Analisi di Fourier. Introdurre le nozioni di base della teoria della probabilità e fornire le competenze teoriche ed applicate per lo studio dell’incertezza.
Lo studente conosce le tecniche fondamentali per la risoluzione di Equazioni Differenziali Ordinarie del I e II ordine (lineari). E' a conoscenza dei fondamenti dell'analisi qualitativa e delle basi dell'analisi di Fourier. È in grado di risolvere problemi di calcolo delle probabilità, e conosce le principali distribuzioni di probabilità per variabili aleatorie discrete e continue, sia mono che pluri-dimensionali.
Prerequisiti
Programma del corso di Analisi Matematica.
Metodi Didattici
Lezioni ed Esercitazioni in aula
Altre Informazioni
Modalità di verifica apprendimento
Prova scritta consistente nella risoluzione di esercizi e prova orale.
Per sostenere la prova scritta è richiesta l'iscrizione all'esame sul sito http://sol.unifi.it/prenot/prenot
Programma del corso
1 - EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE (EDO)
1.1 - Definizioni e terminologia; la forma normale; l'equazione del primo ordine y'(x)=f(x,y(x)) per funzioni y(x) definite su R ed a valori in Rn come forma generale rappresentativa di EDO di ordine n e di sistemi di n EDO del primo ordine; il problema di Cauchy o ai valori iniziali (PVI); il teorema di esistenza ed unicità (TEU) per il PVI: caso di equazioni del primo ordine per funzioni scalari (da R in R) e caso generale (senza dimostrazione); conseguenze del TEU per i sistemi lineari.
1.2 - EDO del I ordine: metodi risolutivi per le equazioni scalari del I ordine: a variabili separabili, equazioni omogenee, equazioni lineari complete, equazioni del tipo di Bernoulli, equazioni esatte e fattori integranti.
1.3 - EDO del II ordine: metodi risolutivi per le equazioni riconducibili ad equazioni del I ordine; equazioni integrabili per quadrature; equazioni lineari a coefficienti costanti, caso omogeneo e non omogeneo: il metodo dei coefficienti indeterminati ed il metodo di variazione delle "costanti".
1.4 - Equazioni lineari in forma generale: ricerca delle soluzioni generali. Spazi lineari di funzioni: lo spazio generato dalle soluzioni di EDO lineari omogenee.
1.5 - Interpretazione geometrica ed analisi qualitativa per le EDO del II ordine e per i sistemi del I ordine di dimensione 2: il piano delle fasi.
1.6 - Stabilità delle soluzioni rispetto alle condizioni iniziali: definizione di stabilità secondo Liapunov: stabilità delle soluzioni di equilibrio e stabilità delle soluzioni evolutive; stabilità asintotica; proprietà di stabilità per equazioni e sistemi lineari; analisi dettagliata dei sistemi a dimensione 2: definizione di centro, punto sella; fuoco (spirale); nodo; caso di equazioni e sistemi non lineari: criterio di stabilità in prima approssimazione; II Criterio di Liapunov per la stabilità, per la stabilità asintotica e per l'instabilità. Analisi qualitativa con il metodo dell'energia.
1.7 - Modelli meccanici ed in teoria dei circuiti che vengono formulati come EDO: l'oscillatore armonico, l'oscillatore armonico smorzato e forzato e la risonanza lineare, il pendolo non lineare. Modelli in dinamica delle popolazioni: il modello malthusiano, il modello logistico, il modello preda-predatore.
1.8 - Medoto risolutivo della trasformata di Laplace (elementi introduttivi).
2 - SERIE E TRASFORMATA DI FOURIER
2.1 - Spazi di funzioni dotati di prodotto interno (spazi unitari). Norma di una funzione.
Disuguaglianza di Schwartz, disuguaglianza di Minkowski (triangolare), disuguaglianza di Bessel.
Spazio delle funzioni continue a tratti su un intervallo. Polinomi trigonometrici e polinomi di Fourier; base ortonormale approssimante reale e complessa.
2.2 - Successioni di funzioni: convergenza puntuale e convergenza uniforme; serie numeriche, serie di funzioni, serie di potenze, raggio di convergenza, criterio di Abel.
2.3 - Serie di Fourier reale e complessa, calcolo dei coefficienti; SF di funzioni periodiche e di funzioni definite su un intervallo qualunque; convergenza in norma (media quadratica); l'uguaglianza di Parseval; le condizioni di Dirichlet per la convergenza puntuale della SF; convergenza della serie derivata e della serie integrale; funzioni pari e dispari e loro SF; fenomeno di Gibbs e convergenza uniforme della SF.
2.4 Definizione e prime proprietà della trasformata di Fourier. La funzione gaussiana.Teorema di inversione della trasformata di Fourier. La formula di Plancherel. Cenno alla trasformata di Fourier in L2(R). Cenno alla teoria delle distribuzioni
2.5 Introduzione alle equazioni differenziali a derivate parziali; le equazioni della Fisica Matematica: diffusione , onde e Laplace(unidimensionali) e risoluzione di problemi al contorno ed ai valori iniziali. Cenni alle equazioni di Maxwell.
3 PROBABILITÀ
3.1 Esperimenti casuali, eventi e spazio dei risultati , Elementi di calcolo combinatorio , definizioni di probabilità , probabilità condizionata, eventi indipendenti, Teorema di Bayes
3.2 . Variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità: variabili aleatorie discrete e continue, distribuzioni di probabilità, speranza matematica, probabilità puntiforme e densità di probabilità, densità congiunta, parametri di una distribuzione: valor medio e varianza. Funzione densità di probabilità di variabile aleatoria, funzioni di variabile aleatoria.
3.3 Distribuzioni di Probabilità discrete: distribuzione di Bernoulli e binomiale, distribuzione di Poisson, approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson .
3.4 Distribuzioni di Probabilità continue: distribuzione normale o di Gauss, distribuzione normale standardizzata . Alcune applicazioni della distribuzione normale , uso delle tavole della distribuzione normale. Distribuzione uniforme, distribuzione esponenziale, relazione tra la distribuzione binomiale e la distribuzione normale, relazione tra la distribuzione normale e la distribuzione di Poisson .-