Introduzione alla teoria dei segnali: segnali analogici e a tempo-discreto, segnali deterministici e aleatori. Rappresentazione di segnali periodici e aperiodici nel dominio della frequenza: la serie e la trasformata di Fourier, convergenza, teoremi, proprietà. La funzione delta di Dirac. Sistemi a tempo continuo, risposta impulsiva, risposta in frequenza. Segnale analitico, rappresentazione di segnali passa-banda, inviluppo complesso. Processi aleatori. Campionamento di segnali analogici.
Libro di testo:
Monica Gherardelli, Mario Fossi, "Appunti di Teoria dei Segnali", Editrice Esculapio, ISBN 9788874888351
Per la consultazione:
- Marco Luise, Giorgio M. Vitetta "Teoria dei segnali", 3° edizione, Mc Graw Hill
- Simon Haykin, Michael Moher: “Introduzione alle telecomunicazioni analogiche e digitali” Casa Editrice Ambrosiana
- J.G Proakis, M. Salehi::”Communication Systems Engineering“, Prentice Hall International Editions
- A. Papoulis: "Probability, Random variables and Stochastic processes", Ed. Mc Graw-Hill (3* edizione).
Obiettivi Formativi
L'obiettivo del corso è quello di fornire agli studenti gli strumenti e i metodi di base per la rappresentazione, l'analisi e l’elaborazione dei segnali a tempo-continuo, deterministici ed aleatori. In particolare, il corso tratterà le seguenti tematiche:
- la definizione di segnale deterministico e aleatorio e le principali proprietà che li caratterizzano;
- la serie e la trasformata di Fourier per la rappresentazione in frequenza di segnali deterministici, periodici e aperiodici;
- la rappresentazione e modellazione di processi aleatori, nel dominio del tempo e della frequenza;
- introduzione del concetto di filtraggio come processamento di segnali deterministici e aleatori;
- le principali applicazioni dei sistemi di filtraggio dei segnali.
Alla fine del corso, lo studente dovrebbe conseguire le seguenti capacità e conoscenze:
- capacità di analizzare e caratterizzare, sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza, i segnali deterministici ed i processi aleatori tempo-continuo comunemente incontrati nei sistemi di acquisizione delle informazione e di comunicazione;
- capacità di analizzare gli effetti di sistemi per il trattamento dei segnali tempo-continuo e conoscenza degli strumenti matematici per la rappresentazione di sistemi nel dominio della frequenza;
- capacità di interpretare gli effetti del campionamento sui segnali analogici;
- conoscenza delle principali applicazioni nel campo dell'elaborazione dei segnali.
Prerequisiti
Limiti, serie, integrali. Trigonometria. Algebra lineare. Teoria della probabilità. Variabili aleatorie. Analisi complessa.
Metodi Didattici
Lezioni frontali.
Modalità di verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento è costituita da una prova scritta e una prova orale.
Programma del corso
Introduzione alla teoria dei segnali
Tipologie di segnali, segnali analogici e tempo-discreto, segnali deterministici e aleatori. Grandezze caratteristiche dei segnali, potenza istantanea, potenza media, energia. Segnali periodici. Estensione periodica di segnali aperiodici. Esempi di segnali elementari tempo continuo: segnale costante, gradino, sinusoide, esponenziale complessa, esponenziale reale monolatera. Esempi di calcolo della potenza media e dell’energia.
Spazio dei segnali
Approssimazione di funzioni, errore quadratico medio. Spazi vettoriali, distanza, norma, prodotto scalare. Norma indotta dal prodotto scalare, distanza indotta dalla norma. Approssimazione mediante insiemi di funzioni ortonormali. Scelta dei coefficienti ottimi di approssimazione. Disuguaglianza di Bessel, uguaglianza di Parseval, insieme di funzioni completo. Approssimazione mediante basi non ortogonali. Procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
Rappresentazione di segnali periodici nel dominio della frequenza: la serie di Fourier
Sviluppo in serie di Fourier. Insieme di funzioni trigonometriche ortonormali. Calcolo dei coefficienti della serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier, convergenza in senso quadratico medio e convergenza puntuale, condizioni di Dirichlet. Forma complessa della serie di Fourier, base ortonormale di funzioni esponenziali complesse. Esempio di calcolo della serie di Fourier: funzione rettangolo. Spettro di un segnale periodico, concetto di banda di un segnale. Proprietà della serie di Fourier: linearità, traslazione nel tempo. Proprietà di simmetria dei coefficienti della serie di Fourier: funzioni pari e funzioni dispari, funzioni reali, simmetrie degli spettri di ampiezza e di fase. Relazione di Parseval per i coefficienti della serie di Fourier. Esempi di calcolo dello sviluppo in serie di Fourier di funzioni elementari. Convergenza in senso quadratico e in senso uniforme, coefficienti di Fourier quadrato-sommabili e assolutamente-sommabili. Fenomeno di Gibbs.
Rappresentazione di segnali aperiodici nel dominio della frequenza: la trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier per segnali aperiodici, derivazione dalla serie di Fourier. Antitrasformata di Fourier. Spettro di un segnale. Convergenza della trasformata di Fourier, condizioni di Dirichlet. Esempi di calcolo dello spettro di ampiezza e di fase di funzioni elementari: rettangolo, esponenziale monolatera. Proprietà della trasformata di Fourier: linearità; teorema di dualità; teorema del ritardo e della modulazione; teorema del cambiamento di scala; teorema della derivazione e della integrazione; teorema della convoluzione; teorema del prodotto. Proprietà indotte dalla simmetria dei segnali nel tempo (funzioni pari e dispari) e dalla realtà dei segnali (simmetria Hermitiana in frequenza). Teorema di Plancherel e di Parseval. Formula somma di Poisson. Proprietà di simmetria della trasformata di Fourier: trasformata della parte reale e della parte immaginaria di un segnale; trasformata della funzione pari e dispari di un segnale
La funzione delta di Dirac
Funzione delta di Dirac, interpretazione come derivata della funzione gradino. Proprietà della funzione delta di Dirac: proprietà di setaccio, simmetria, scalamento. Trasformata della funzione delta di Dirac. Applicazione al calcolo di trasformate di funzioni con discontinuità. Trasformata della funzione gradino. Teorema di integrazione completo. Trasformata di Fourier di funzioni trigonometriche Rappresentazione mediante trasformata di Fourier di funzioni periodiche. Pettine di campionamento di Dirac e sua trasformata di Fourier.
Relazioni tempo-frequenza della trasformata di Fourier
Banda di un segnale. Durata (banda) di segnali limitati in banda (durata). Relazione tra la variabilità di un segnale e la sua banda. Principio di indeterminazione. Trasformata di Fourier di segnale Gaussiano.
Sistemi a tempo continuo
Sistemi per l’elaborazione di segnali analogici. Classificazione di sistemi: lineari, tempo-invarianti, causali, senza-memoria, stabili. Sistemi lineari-tempo invarianti (LTI), risposta impulsiva, prodotto di convoluzione. Causalità e stabilità in sistemi LTI. Uscita di un sistema LTI per ingresso esponenziale complesso. Risposta in frequenza di un sistema LTI, risposta in ampiezza e in fase. Uscita di un sistema LTI per ingresso sinusoidale reale. Esempio di sistema LTI: il circuito RC. Rappresentazione della risposta in frequenza mediante i decibel, frequenza di taglio a -3 dB, pendenza della curva di attenuazione in dominio logaritmico. Esempio di sistema LTI: il circuito CR. Sistemi non distorcenti. Sistemi filtranti: passa-basso, passa-alto, passa-banda, elimina-banda. Esempio di filtro passa-banda reale: circuito RLC. Sistemi elementari: sistema ritardatore, filtro derivatore, filtro integratore. Composizione di sistemi: connessioni serie e connessione parallelo.
Esempi sull’utilizzo di Matlab per il calcolo della trasformata di Fourier: la risoluzione in frequenza e la localizzazione nel dominio del tempo; analisi tempo-frequenza, short-time Fourier transform (STFT); esempi di implementazione con Matlab della STFT; applicazione all’analisi del segnale musicale e del segnale vocale.
Segnale analitico, rappresentazione di segnali passa-banda, inviluppo complesso
Trasformata di Hilbert. Filtro di Hilbert, risposta in frequenza, risposta impulsiva. Esempi di calcolo della trasformata di Hilbert. Segnale analitico. Rappresentazione di segnali passabanda, inviluppo complesso, Componenti in fase e in quadratura. Estrazione dell’inviluppo complesso da un segnale passabanda.
Processi aleatori
Segnali deterministici a energia finita, densità spettrale di energia e sue proprietà. Funzione di autocorrelazione, teorema di Wiener-Khintchine, proprietà della funzione di autocorrelazione. Segnali deterministici a potenza finita, densità spettrale di potenza.
Introduzione alle variabili aleatorie e ai processi aleatori.
Esperimento aleatorio: spazio campione, classe degli eventi, probabilità degli eventi. Esperimento aleatorio composto.
Variabili aleatorie discrete e continue. Funzione distribuzione di probabilità (PDF) e sue proprietà. Funzione densità di probabilità (pdf) e sue proprietà. Stima di PDF e pdf mediante frequenze relative. Esempi di pdf continue notevoli: la distribuzione uniforme, la distribuzione Gaussiana, la distribuzione esponenziale. Esempi di variabili aleatorie discrete, interpretazione della pdf per variabili aleatorie discrete. Valore atteso di una v.a., valore atteso di una funzione di v.a., linearità del valore atteso. Indici del primo ordine di una v.a., media, potenza, varianza, momenti di ordine k. Esempi di calcolo di media e potenza per distribuzioni notevoli.
Funzione di distribuzione e densità di probabilità congiunta di due variabili aleatorie. Proprietà delle funzioni di distribuzione e densità di probabilità congiunta di due variabili aleatorie. Variabili aleatorie statisticamente indipendenti. Valore atteso e indici di variabili aleatorie congiunte: correlazione, covarianza, indice di correlazione. Variabili aleatorie incorrelate. Esempio di pdf congiunta di due variabili aleatorie: variabili congiuntamente Gaussiane. Vettori di variabili aleatorie (cenni).
Processi aleatori, introduzioni e definizioni. Funzioni di distribuzione e densità di probabilità dei campioni del processo. Statistiche del primo ordine di processi aleatori, media, potenza e varianza. Funzioni di distribuzione e densità di probabilità congiunta di due campioni di un processo. Statistiche del secondo ordine di processi aleatori, funzione di autocorrelazione e autocovarianza. Processi stazionari in senso stretto. Processi stazionari in senso lato (WSS). Esempio di processo WSS: il processo armonico. Processi ergodici. Proprietà della funzione di autocorrelazione. Densità spettrale di potenza di un processo aleatorio WSS. Proprietà della densità spettrale di potenza. Esempi di calcolo della sensità spettrale di potenza: processo bianco, processo armonico. Processi aleatori filtrati da sistemi LTI: autocorrelazione e densità spettrale di potenza dell’uscita.
Campionamento di segnali analogici
Il teorema del campionamento. Aliasing. Ricostruzione di un segnale analogico dai campioni, interpolazione cardinale. La trasformata di Fourier per sequenze e la sua inversa. Convertitori ADC e DAC ideali. Effetti della non limitatezza in banda. Effetti dell’utilizzo di impulsi reali nella ricostruzione del segnale.